[讨论]交通流中的波与波速！

小妖

波动，这是一个最广泛的科学话题之一！人们日常生活中最熟悉的莫过于水波以及光和声的传播了，而像声爆或是交通中的运动瓶颈这样现代的问题，同样也是引起人们普遍注意的。
     似乎，到目前为止还没有一个精确的定义来说明波到底是有什么构成的。如果说想要包括所有的波动现象，好像最好是用直观的观点来作指导。
     直观的观点认为：波是以可识别的传播速度从介质的一部分传到介质另一部分的任何可以识别的信号。这种信号可以是扰动的任何特征，比如说是某个量的最大值或是突变，只要能够清晰地识别这个信号，并且能够确定它在任何时间所处地位置就行。这个信号是可以发生变化的，比如畸变，它的大小可以改变，并且它的速度可以变化，但只要它仍然是可识别的就行！
     以上关于对波的定义看来也许是不明确的，但是事实证明这是完全恰如其分的，想要更精确一些的说法则是显得局限性太大了；不同特征在不同类型的波中是重要的。

     关于波动的基本思想在交通流上的应用，最先是由 Lighthill , Whitham (1955)和Richards (1956)独立地列出方程并加以讨论地。在这种情况下，流动速度
                            V(k)= Q(k)/k ,
显然一定是 k 的一个递减函数，它从 k=0 时的一个有限的最大值开始，随着 k —> Kj而减小到零，Kj 是当汽车一辆紧挨着一辆时的 k 值。因此 Q(k) 在 k=0 和 k=Kj 时都为零，而在中间某一密度 Km 处具有一个最大值 Qm。它具有上图中所示的凸起形状。交通流的实际观测结果表明，对于单一通道而言，典型的值是：Kj 约为每英里225辆，Km 约为每英里80辆，Qm 约为每小时1500辆。对于多通道公路而言，把这些数值乘上通道数看来大体上是正确的，令人感兴趣的是，根据这些数字，最大流量是在每小时20英里附近的一个低速度处达到的。
     波的传播速度是
                   c(k)= Q'(k)= V(k) + kV'(k) 。
因为 V'(k)< 0，所以传播速度小于汽车速度；波通过交通流向后传播，而司机得到警告说是前面有扰动。速度 c 是 (q,k) 曲线的斜率，所以波相对道路向前或是向后运动，具体情况取决于 k< Km 还是 k> Km。在最大流量处，k= Km，波相对于道路是不动的，所以相对于汽车的传播速度与 Qm/Km～20英里/小时相同。
     在 k=Kj 附近，我们可以单从反应时间这一点来作一粗略的估计。如果我们假设司机及其汽车需要经过一段时间 △t 之后才能对前面的任何变化产生反应，那么为了安全起见汽车之间的间隙应该保持为 V△t 。如果 h 是车头距，它定义为相继的两汽车头部之间的距离，而 L 是典型的汽车长度，那么这可以导出
               V= ( h-L )/△t 。
因为 h= 1/k，L= 1/Kj，所以我们得到
           V(k)= L/△t * ( Kj/k-1) ， Q(k)= L/△t * ( Kj-k ) 。
大家也许应该把这作为对曲线 Q(k) 在 Kj 处斜率的一个估计，而不应该作为对 k 的线性依赖性的一个现实的预言。无论如何，它给出那里的传播速度为 Cj= —L/△t 。就交通流方面来说，通常估计 △t 在0.5～1.5秒的范围内，虽然在其他一些情况中人的反应时间可能快得多。由 L=20英尺，△t=1秒，我们得到 Cj～－14英里/小时。

[ 本帖最后由 水寿松 于 2009-4-28 03:06 编辑 ]

小妖

     
     Greenberg(1959)发现，如果取
                               Q(k)= a*k*log(Kj/k) ，
其中 a=17.2英里、小时，Kj= 228辆/英里，那么就能与纽约的Lincoln隧道的数据符合的很好。对于这个公式而言，相对传播速度 V-c 在所有密度时都等于常数值 a 。Km 和 Qm 的值为 Km=83辆/英里，Qm＝1430辆/小时。当 k —> 0 时，这个对数公式不能给出一个有限的 V 值，但是对于非常稀疏的交通而言，这个理论就靠不住了，所以单就这一点来说是不重要的，由一个有限的最大值 V 和一个有限的 V'(k) ，我们得到当 k —> 0 时 c —> V ，所以大家应该预料到密度变小时 V-c 就减小。
     因为 Q(k) 是凸的，即 Q''(k)< 0，所以 c 本身始终是 k 的一个递减函数。这意味着局部的密度增加如上图所示的那样传播开去，并在其后部形成一个激波。个别汽车运动地比波快，因此司机是从后面进入这样一个局部密度增加区；他穿过激波时必须迅速地减速，但是当他离开交通拥挤地地方时只能慢慢地加速。这似乎是与经验一致的。其详细情况可以应用运动学波和激波的相关理论来进行分析。尤其是，最后的渐近性态是三角波，它是上图中最后一个剖面！

水寿松

看来妖兄希望专门就交通流中的波这个问题进行卓有成效的讨论啊，欢迎欢迎！
偶没有什么高论，楼下的请继续！

rjiang

Q(k)为凸的这个说法现在值得商榷,在计算local cluster effect时,使用
凸函数就行不通了.

小妖

下面引用由rjiang在 2004/07/18 02:50pm 发表的内容：
     Q(k)为凸的这个说法现在值得商榷,在计算local cluster effect时,使用凸函数就行不通了.

Q(k)为凸的现在看来也是可行的，当然它已经不是单值函数了，总体来看，Q(k)保持为凸起的形状并没有什么可以怀疑的地方！
当然，随着目前对于交通流研究的更加深入，特别是德国的研究者B.S.Kerner始终在坚持实测，主要是针对高速公路上车流的自组织效应进行研究，其结论支持了他一贯坚持的有相变的看法。在使用高阶连续交通流模型研究时，也会自然的模拟出磁滞的现象，这也是板上钉钉的事实了！
在楼上我说得是 Lighthill , Whitham (1955)和Richards (1956)研究交通流的时代，那个时候应用的还是平衡速密关系，所以显示地当然还是单值的Q(k)，就是现在的对于交通控制方面的科研工作者来说，使用这种流密关系仍然要比“人”字形的流密关系来得更加频繁！
就国内的研究状况而言，似乎复旦大学的欧仲辉博士在平衡函数方面做了许多的工作，希望他能谈谈一些他做的想法，期待～

tangtieqiao

妖兄说Q(k)是凸的,这种提法是错误的,应该说它的凹的,因为数学中的凸函数是Q''(k)是大于0的,而凹函数才是Q''(k)小于0."Q''(k)< 0，所以 c 本身始终是 k 的一个递减函数。这意味着局部的密度增加如上图所示的那样传播开去，并在其后部形成一个激波。个别汽车运动地比波快，因此司机是从后面进入这样一个局部密度增加区；他穿过激波时必须迅速地减速，但是当他离开交通拥挤地地方时只能慢慢地加速。这似乎是与经验一致的。"你能不能详细解释一番.

tangtieqiao

不好意思,由于我上面不小心打错了一个字,所以再发一次.妖兄说Q(k)是凸的,这种提法是错误的,应该说它是凹的,因为数学中的凸函数是Q''(k)是大于0的,而凹函数才是Q''(k)小于0."Q''(k)< 0，所以 c 本身始终是 k 的一个递减函数。这意味着局部的密度增加如上图所示的那样传播开去，并在其后部形成一个激波。个别汽车运动地比波快，因此司机是从后面进入这样一个局部密度增加区；他穿过激波时必须迅速地减速，但是当他离开交通拥挤地地方时只能慢慢地加速。这似乎是与经验一致的。"你能不能详细解释一番.

水寿松

恐怕还是需要唐兄再仔细看看喽，妖兄从来没有说Q(k)是凸函数这一词语，他说的只是Q(k)保持为凸起形状，对于Q(k)是凹函数这一事实恐怕妖兄是不会搞错的，搞双曲守恒方程的哥们这都弄错，就笑话大啦，呵呵！！
对于应用运动学波和激波的相关理论来进行分析交通激波的形成恐怕要扯一大堆，就看妖兄愿不愿意喽！

tangtieqiao

交通动力波本质上是非线性的,连续性方程揭示它的传播规律.若车流密度小于临界密度,则动力波沿高速公路交通流正向传播,高速公路交通流处于稳定态,运行通畅;反之,动力波反向传播,高速公路交通流处于不稳定态,将出现拥堵[6,7,16].
[6] FerrariP.Theinstabilityofmotorwaytraffic.Transp.Res,1994;28B(2):175～186；
[7] Lighthill M J,Whitham G B. Flood movement in long rivers. Proc. Roy. Soc., 1955; 229A:281～345；
[16]　Papageorgiou M. Applications of automatic control concepts to traffic flow modeling and control. NewYork:Springer-Verlag,1983

mitterand

有两点我可以明确：
1. concave是凹的。但是我记得数分老师说过，最好说成下凹，或上凸。那么凸就是下凸或上凹；
2.Cj的值应该在－15～－25 km/h.
我不能够明确的是：
1. 流密关系是存在两种或更多机制？这导致这种关系式有中断？这就是有人在吉林提出反八字。这是很久以前的东西了；
2. 对于中断处的值，据说是司机不易在此速度行驶。那就导致了另外一个问题：数据统计。对于不同频率的值如何处理。那些概率高的点和概率低的点是不是用一根函数联过去就可以了？