菜鸟请教特征线问题

硫酸铜

请教各位大虾一个问题，数学物理方程里面的特征线对应的物理含义是什么，问了上课的老师，老师也说不明白，最近在看安德森的《计算流体力学》，看到第3章 偏微分方程的数学性质对CFD的影响，又再次提到特征线，并且讲得很深入，还是没看明白，不知道应该如何入手？或者有什么相关书籍可以参考吗？还请各位前辈多多指教 ！

通流

讲的很深入，又看不明白，说明讲的还是不透。

我的理解，特征问题总是包含两部分：特征值和特征向量。
你说的特征线是特征值的一部分。表达的是独立扰动是如何传播的。特征线就是扰动在时空里的轨迹。特征值经常还有一部分，表达扰动在传播的时候是在增大还是减小。
特征向量则是独立扰动本身的描述。

特征问题的分析是在线性化的假设之上的。这时，各种物理扰动可以分解成一组相互独立的扰动。

硫酸铜

感谢你的回复！

周华

物理上的意义应该就是受扰动区域的边界线，数学上是导数的间断线。

onesupeng

前面两位的回复总感觉有点怪怪的。我没空展开说太多，简单点空气，特征线可视为扰动传播的路径，如果不同频率或者不同温度的扰动传播速度不一样，可能导致很多特阵线汇聚（激波）或者分开（稀疏波）。

举个例子：
\partial u/\partial t +a \partial u/\partial x = 0
如果 dx/dt=a，则上式可以写为
du/dt=0，即在dx/dt=a上，u不改变，不过具有传播性。翻书吧，多翻几本感觉会慢慢上来

周华

能否详细谈谈，比如从微观角度应该如何解释特征线。

uesoft

18世纪许多杰出数学家极大关注弦振动方程是一个一维波动偏微分方程：(以下用微分代替偏微分)
d2y/dt2=a^2*d2y/dx2---------(1)
1747年达朗伯、1748年欧拉各自独立求得偏微分方程(1)的解是：
y=f1(x-at)+f2(x+at)-----------(2)
f1,f2是任意函数，他们的自变量正是一维波动各自反方向的两条特征线。
1753年丹尼尔.伯努利(欧拉的朋友，曾一起在彼得堡科学院工作)将该方程的解表示为正弦余弦级数形式：
y=sum(bn*cos(n*pi*a*t/l)sin(n*pi*x/l))，表明无数的振动合成了一个波动，这对今天的量子力学和引力场方程及超弦理论仍然起着指导作用。

硫酸铜

翻了很多本书，感觉千篇一律，都没说清楚

onesupeng

我给楼主推荐一本教材：

童秉纲、孔祥言、邓国华  《气体动力学》 高等教育出版社  第六章 “定常超声速流动的特征线法”

通流

感觉站长跟我说的有点怪，大概是因为我们也没有说清楚。
不过我还是认为特征线法要从同时理解扰动的内容和扰动的传播。扰动的传播除了传播速度，有时还有扰动的变化。如果扰动在增长，那么这时又有了稳定性问题（也是线性的）。

至于理解，还是要靠自己。我想很多人（包括我）都是纠结了不少年，才开始有点开窍的感觉。这还是偏微分方程中最容易的一部分。当年上非线性课的时候，教授在黑板上讲的如痴如醉，低下学生基本都是云里雾里。那位教授一回头，发现课堂上基本上都是茫然的眼睛，赶紧解释了一下。说这个都是差不多每50年才有一点进展，所以开始听不明白也没什么不正常。

onesupeng

哈哈，刚才我推荐那本书讲的还挺不错，那需要读者耐心的看两次。为了回答他，我刚才翻开教材，结果存合肥的时候水搞到了，我花一两个多小时一页页分开，还好没有彻底坏掉

uesoft

y=f1(x-at)+f2(x+at)-----------(2)

令u=x-at,  v=x+at  -------(3)
构成了x-t平面的特征线族，他们是波动传播的范围。
而
y=f1(u)+f2(v)
是一维波动方程的解。

周华

楼主问的是物理意义。

uesoft

我不清楚特征线的物理意义，只是前年看苏联数学分析书1962年中译本有这个方程历史，觉得有点特征线联想。

通流

其实，物理清楚了，数学也就清楚了。反之也然。

只清楚一边，说明都没有搞清楚。