关于不可压的状态方程

对月

对不可压流动，对理想气体，物理上P＝densit× R×T总是成立的，但在不可压假设下，压力P不具备热力学压力的意义（数量上差多少呢？），因此此状态方程原则上是不适用的。这个理解正确吗？

anyone

既然假定密度与压力无关, 再用个状态方程把压力和密度联系起来, 岂不是自相矛盾?
在不可压假设下, 压力绝对值没有意义, 只有压差有意义. 算出负的压力也没关系.
对于气体, 一般认为在流速不大(<0.3M)情况下, 流场中气体密度变化很小, 可以用不可压假设.

对月

问题不在矛盾与否，如低速的自然对流问题，密度是需要变化的，问题是一般情况下该变化通过Boussinesq假设求得，为什么不使用状态方程（如理想气体）呢？我们知道不可压假设下压力（如果需要，绝对压力是可以得到的）与热力学压力不等价，那么究竟有多大的差别呢？

anyone

引入不可压假设本来就是要把问题简化, 有利于求解. 如果考虑可压缩性, 密度变成压力的涵数而不是常量, 需要求解状态方程. 因为涉及到温度, 经常要和能量方程一起解, 求解的工作量大大增加. 这是一方面.
原则上理想气体总是可以用可压缩流来求解. 事实上CFD早期大家都是用密度作为基本变量(DENSITY BASED)方法来研究高速空气动力学. 这种方法在高速空气动力学研究中取得很大成功, 直到今天仍然是主流. 但为什么这套方法应用到低速领域就变得举步唯艰了? 其实道理不复杂. 在低速情况下, 控制流动所需的压力(差)比较小. 密度的微小变化所对应的压力变化可能远远超过了流动压力, 从而破坏了解的收敛性. 这就是为什么大师们绞尽脑汁搞出个以压力为基本变量(PRESSURE BASED)的方法来研究低速流动. 为了弥补缺乏状态方程造成的问题, 甚至只好从连续性方程推出一个便便扭扭的压力修正方程来. 这套方法现在成了研究低速流动的主流. 同样道理对低速的自然对流问题,大家宁肯把密度变化转变成体积力从而保持不可压假设, 而不愿意用更加自然的可压缩加状态方程来求解.
至于不可压假设下压力与热力学压力的关系, 如果看一下不可压NS方程就知道压力只以梯度方式出现. 压力加上一个任意大小的常数不会改变微分方程的解. 至于"如果需要，绝对压力是可以得到的" 只不过是引进一个压力参考点让那一点的压力等于当地热力学压力. 在不可压假设下适用范围内, 如前所述, 流动造成的压力变化小于热力学感兴趣的压力变化, 只要参考点压力对了, 其他位置的压力和实际热力学压力差别不大. 如果超出了不可压假设下适用范围, 一切就很难说了. 即使参考点压力对了, 其他位置还有可能出现错误的压力变化趋势, 负的压力值, 或者压力值比热力学压力差几十倍. 当然一般来说整个流场也不对了.
超出不可压假设下适用范围的情况有些很明显, 比如用不可压算高马赫数流动. 有些不那么明显. 举一个例子, 在很多以液体为媒介的流体机械会出现空蚀现象. 大家一般都用不可压来算液体.如果不做特别处理, 即使来流压力设对了, 在应该出现空蚀的区域就会出现明显的负压力.

对月

[这个贴子最后由对月在 2005/03/05 01:42pm 第 2 次编辑]

谢谢anyone的回复，但关于几个问题的认识，偶以为还是要讨论一下。
关于可压缩方法计算不可压问题，存在两方面的问题，一是所谓刚性问题，目前通过预处理是可以解决的，偶也看到过用一种rational Rung－kutta的方法采用可压缩方程计算低速问题的文献，结果也比较好。另一个原因是对气体之外的其他流体，如水，Boussinesq假设以外的普遍适用的状态方程偶还没有看到，用可压缩方程和方法求解就有更多的困难了。
在你的答复中有一个矛盾的地方，即认为不可压计算出的相对压力加上一个偏移量等于热力学压力，我们知道，热力学压力是满足状态方程的（理想气体为例），那么这个压力差会对应一个密度差（状态方程一减就剩下压力差了，所以有没有绝对压力无关紧要），该密度差是真实的密度差吗？你又讲真实的密度差对应的压力差远大于流动造成的压力差，但不可压计算只有一个压力差！只有这个压力差不是热力学的压力差，也就是作为正应力的压力与热力学的压力不是一回事，你的这个说法才成立。但又推翻了你的前提。
而且偶觉得这个讨论多少有些跑题，因为在不可压假设下，原则上不存在密度的状态方程，对自然对流等问题，又需要给出一个变化关系，问题是这个关系怎么给出才更合理和精确？

anyone

看来我们之间的交流不是很通畅. 说句实话我有点搞不清楚你到底想问什么了. 好在你的回复里有一些具体的问题还可以讨论.
从总的方面来说, 引入不可压条件, 个人认为, 不应该简单理解为抛弃了流体状态方程, 而是用了密度等于常数做为状态方程. 这个方程毫无疑问是对真实流体的一个近似(理想气体也是近似). 对液体来说, 在大部分我们感兴趣的问题里, 这是个很好的近似, 对低速流动的气体也是个不错的近似. 既然用了不同的状态方程, 所以不可能保证在一般的情况下,不可压条件解出的压力和用理想气体状态方程求解可压缩流解出的压力是一至的. 虽然不排除在特定情况下两者是相关的甚至是相同的.
如果你仔细看我前面的回复, 你会发现我没有认为"不可压计算出的相对压力加上一个偏移量等于热力学压力", 而是相反, 我认为一般来讲这种关系不存在.
至于我说的"密度的微小变化所对应的压力变化可能远远超过了流动压力"是指在用可压缩状态方程进行低速计算时可能出现的问题. 搞过计算的都知道计算过程甚至计算结果中(密度值的)误差是不可避免的. 而这种误差放大效应肯定不利于收敛和求解精度.
看起来你是想做低速的自然对流问题. 不可压加Boussinesq假设是目前最常用的方法. 之所以不使用可压缩理想气体状态方程, 个人觉得主要是为了简化求解方面的困难, 而不是因为前者更准确的反映了物理实际. 不知道你是做理论的还是做计算的. 如果做理论的, 把密度从常量变成变量, 再加上状态方程和能量方程无疑会使问题变的很复杂. 如果是计算, 估计用可压缩理想气体状态方程去解低速的自然对流问题可能收敛性不好. 不过我从来没用这种方法做过, 这只是猜测, 不一定对. 其实你有时间又有相应软件的话, 不妨试试用可压缩理想气体状态方程去做一下, 有第一手资料比在这纸上谈兵要好得多.

对月

老兄有点先入为主了，事实上两种方法偶都做过了，现在是探讨一下理论问题。
"所以不可能保证在一般的情况下,不可压条件解出的压力和用理想气体状态方程求解可压缩流解出的压力是一至的"
这是对应偶的第一个问题，不可压压力与热力学压力的关系，是这样吗？
"密度的微小变化所对应的压力变化可能远远超过了流动压力"
这个结论是怎么得出的？

anyone

"密度的微小变化所对应的压力变化可能远远超过了流动压力,这个结论是怎么得出的？" 目前你可以认为是 A 氏猜想, HEHE. 其实是想对可压缩流不适用于低速做个解释. 相信已经有专家学者详细阐述过, 不过一时还不好找. 有兴趣的可以查查关于DENSITY BASED方法为什么不适用于低速的讨论, 也许会提到. 记得好象有一项涉及马赫数倒数, 低速下会变得很大.
既然找不到专家支持, 只好自己来支持一下.
就说你的自然对流问题, 不失一般性, 考虑1立方米空气常温常压下被加热100度, 如果压力不变, 密度会减少30%左右. 按密度减少算出的浮力大约 3N. 如果温度不变产生同样30%密度减少, 压力也要减少30%, 30%的压力变化在1平方米产生的力是30000N.
如前所述, 这只是一种解释. 实践才是检验真理的标准. 既然你两种方法比较过, 能不能把比较的结果介绍一下, 我很感兴趣. 如果结论是相反的, 那我就要考虑修正我的观点了.

对月

"记得好象有一项涉及马赫数倒数, 低速下会变得很大."
是条件数，最大特征值与最小特征值的比，在低速下条件数变大，求解稳定性变差，
预处理就是改变这个条件数，也叫“stiff”，即刚性问题，是时间推进求解时由于信息传播的特征速度差别较大造成，理论上通过减小时间步长可以得到解，因此采用可压方法解低速空气流动的主要困难是求解稳定性问题，实际目前对于一些低速气体问题，可以得到比较好的结果，如我前面提到的那个方法。从我的经验，不会存在由于密度的数值误差从而造成达到压力误差的问题，反倒是由于压力的变化较小，需要注意压力的舍入误差问题。
我明白你的意思了，是因为状态方程里的R较大使得较大的压差对应较小的密度差，这个造成的问题现在还没有遇到。
自然对流问题的温度变化如果达到100度，不可压假设也就不能用了，误差太大了。
其实偶最关心的是不可压压力与热力学压力的关系？

anyone

看起来你是用DENSITY BASED 显式方法在做. 我一直在做 PRESSURE BASED 隐式方法, 沟通起来还不是那么容易.
STIFF 是比较官方的解释拉, 我所说的压力/密度关系是从另外一个角度来看这个问题. 两种解释基本等价.
100度可能是有点外行了. 不过即使是0.1度, 浮力和压力的比值还是一样的. 比值和几何尺寸到是有关系, 如果变成 1 MM^3 立方体, 比值会再增加1000倍.
求解稳定性问题就是我说的求解困难. 我没否认 (DENSITY BASED) 可压缩方法可以用来计算低速流动问题. 就象PRESSURE BASED的方法也可以计算高超音速一样, 所关心的是(和别的方法相比)解的精度和效率问题.
如果你不介意的话, 能不能把你比较的结果详细介绍一下, 比如每种方法用的什么软件(自己编程的话, 具体用的什么算法); 希望你的算例是有解析解或是有实验数据, 这样可以比较一下解的精度. 最后是计算所需的时间.

对月

[这个贴子最后由对月在 2005/03/11 01:46pm 第 1 次编辑]

不好意思，又误会了，可压的方法偶们用的是基于守恒变量的隐式方法，和随便一本CFD的书介绍的没有区别，比较的解析解如平板的Blasuis、圆柱绕流、翼型绕流之类的，当然都是气体，精度还行，效率可比性不强（程序同事编的）；显式的方法是文献给的，倒也证明了困难在于求解稳定性。
你说的是密度求解的数值误差会造成压力误差，怎么会和条件数问题等价呢？而且按照这个“官方的解释”，预处理也做的满好的吗。
从方程的角度，变多大度数没什么，但物理上不是那么回事，偶不想让偶尔看了这个帖子的兄弟产生误会。
基于压力的方法是偶的主要工作，程序自己编的，比了很多例子了，不举了吧，常见的那些都做了。
正如老兄所言，两种方法各有所长，各有偏重，目前还不存在那种方法统一天下的问题。你看，偶只是想问问不可压假设下压力的物理意义，结果讨论了半天方法，下面能针对偶的问题给个答复吗？

anyone

[这个贴子最后由anyone在 2005/03/12 05:05am 第 1 次编辑]

长篇大论的打字实在太费时间了. 方法不讨论了,最后简单讨论几句你的问题.
我的看法是:
1.首先这里没有绝对真理, 理想气体也是近似, 为什么就一定正确代表了热力学压力关系那?
2. 总的来说, 我认为推动气体流动的正压力和热力学压力是同一个东西. 对不可压假设我更倾向于理解成采用了不同的状态方程, 而不是不要状态方程.
3. 即使只考虑压差, 用不可压算出的流动压力和考虑到密度变化所算出的流动压力会有一个误差.在低速流动情况下, 这个误差可能很小. 如果这个误差又不会对流场产生大影响, 那就看你自己在不在意这点误差.

dancingpiggy

我是菜鸟
刚开始学流体力学
不过我认为
好像楼主的概念理解错误了
在流体力学中
主要的思考基点是欧拉坐标系
在一个控制体中思考问题，而不是以系统
所以
对于不可压缩流动或者可压缩流动
判定的条件是压力的随体倒数是否为零
而不是压力是否是场数
也就是说
一个流场的压力可以随时空变化
但是如果它的随体倒数为零
就是不可压缩流动
随体导数是流体力学的一个基本概念吧
兄台好像不明白的说

dancingpiggy

状态方程一般的使用对象是系统而不是控制体
因此
如果一个不可压缩流动DP/Dt=0
是一个非均质流体流动
那么用于系统的状态方程是一个压力变化的方程
除非你把这个用于系统的状态方程变成用于控制体的形式
根据相率的自由度定义
如果压力不随时空变换
那其他的参数形式和自变量一定会有变化

对月

[这个贴子最后由对月在 2005/03/13 09:51pm 第 4 次编辑]

强调一下概念！
不可压假设： 密度均匀且为常数，和系统与控制体都无关！更和压力的随体导数扯不上关系！正如anyone所说，打字真的很累，而且上网时间有限，大家把问题搞清楚了再发言，可好？
理想气体状态方程： P＝densit×R×T，真实气体状态方程就不是这个形式了！水的状态方程偶还不确定。
为讨论方便，我们研究的物理对象为理想流体，则存在以上这样的压力、密度、温度关系，
引入不可压假设来研究理想流体的流动问题，这时密度被认为不变，通过流动控制方程得到了压力，该压力与以上状态方程的压力在概念上不同！值也应该不同，问题是不可压假设得到的压力与真实热力学压力（状态方程中压力）差多少呢？