[原创]教科书常见错误之四：物质导数的物理解释是什么？

海上钢琴师

[watermark]呵呵，看大家兴致高就再发一个！一般教科书在讲到流场描述方法时自然都会讲到拉格朗日法和欧拉法，这两种方法的差异自然很多，但是牛顿定律是在拉格朗日法下提出的，因此一个关键问题就是如何将牛顿定律应用到欧拉法里面去，那么答案就是用“物质导数”。物质导数的特点就是存在对时间的偏导数，同时存在对空间坐标的导数，前者通常称为“当地导数”，后者通常称为“对流导数”，一般在讲到这里时都要讲一讲当地导数和对流导数的物理意义。我想请问诸位网友，究竟有多少人能看懂这部分关于物质导数各项物理意义的内容，还是看过以后懵懵懂懂？或者换个问法，您所理解的“当地导数”和“对流导数”是什么意思的？[/watermark][br][br][以下内容由 海上钢琴师 在 2006年07月04日 06:45pm 时添加] [br]
补充一点：教科书上通常是画两个球，用来说明流体从一个时刻到另一个时刻的位置，然后再讲物理意义。我的感觉是这里讲的太牵强，不知有多少人与我有同感？

shiangyulee

Dear 钢琴师
I am not directly answering you rquestions, leaving that to others. But I think the question of "拉格朗日法和欧拉法" is indeed very interesting.
Most of problems in fluid dynamics are, as we all know, formlated in the Euler framework and problems in solid mechanics/dynamics in Lagrangean system.
As you might have noticed, the "Vortex Impulse" method proposed by Milne-Thomson and extended in my paper is an attempt to solve the fluids problem with a Lagrangean perspective. In so doing, the problem becomes an "unsteady state" problem but it is nicely circuvented by taking the time derivative (material?) of the impulse quantity. The approach is also described in the text book by Asley and Landahl (MIT, 1965) who described the approaches as manipulating the "Kelvin Impulse".(Page 36 and on) You might want to check this out.
I described in my paper that the approach is reduced to a "quasi steady" problem. This entire approach is not fully developed and hardly understood in the field and we need to pursue more explorations.I understand the field invstigating insect flight dynamics is using this approach but have not studied any paper to verify that.
You may also be interested to know that I worked with my professor and some other colleagues on using the Eulearean formulation to handle dynamic problems of solids a long long time ago. It had to do with strings (wires) traveling at high speed subject to vibrational excitations.One of the papers was published in the ASME J.of Applied Mechanics as "A Class of General Solutions to the Nonlinear Dynamic Equations of Elastic Strings", page 1045, 1973.
Please do look at my 2nd paper on rectangular wing and my posed question and comment on them.

amyang

    换一种方式可能更好理解：积分形式。控制体内物理量随时间的变化（当地导数）应该由2部分组成：（1）对流部分：即流进去的流体所携带的物理量之和减去流出去的流体所携带的物理量之和（对流项）。（2）源项：对于质量方程，如果没有源，此项为0；对于动量方程，此项就是作用在控制体上的合力；对于能量方程，就是功和热的总和了。这种表述方式最能体现欧拉描述方法。
   

wenliang

我花了两年多的时间去理解这个概念，几乎被累死。
最终得到了一个粗浅的结论：欧拉法实际上也是追踪流体质点的。在任何瞬间，任何质点的运动方向都是流线方向，同时这个质点的任何性质都是时间和坐标的函数，所以该质点的物理和运动性质的导数就是数学上的全导数，而且dx/dt、dy/dt和dz/dt由于沿流线方向，故这三项就是各个方向上的分速度。
物质导数的本质是欧拉法中的一个算子，它可以应用在流场中质点的任何性质之前，从而得出相似形式的表达式。

e3lb89cz

john anderson教授的几本书上都有解释，包括一个很形象的比喻
computational fluid dynamics the basics with applications的46页

robinlxw

这个问题我也被弄得很惨过。有一天不知道看了哪本书，突然领悟。我是这么理解的，请大家看看对不对。
拉格朗日法事实上跟初学都的概念比较接近，所以没什么新的概念。
对一欧拉法，所谓的质点导数或物质导数可以这么理解：把流体看做质点来看待时，速度对时间的变化速，引入这个概念的意义在于，牛顿第二定律的含义是，质点速度对时间的导数等于外力之和。所以速度质点导数等于外力之和（单位质量）。但这个质点导数可以分解为......
后面的就很容易理解了，我就不多废话了，呵呵[br][br][以下内容由 robinlxw 在 2006年09月16日 08:51am 时添加] [br]
不好意思，看太快了，误解楼主的意思了，我觉那个没问题，不同的教科书对雷诺公式有不同的解释，我觉得都好理解啊，呵呵

HVACMaster

计算流体力学入门中的解释比较好！

zhaangc

可否把觉得不理解，或者说感觉到与以前认识有所矛盾的地方详细的举列出来呢？我对于物质导数的问题也一直存在很大的困惑，对于物质导数详细而完整的数学解释应该在于张量分析讲义的最后几章，要看到那一部份需要不少时间。对于物质导数DA/Dt,其中，A=A(x1,x2,x3，t)一般是一个实值函数。A的变化一般会这样发生：1）当A所处的空间坐标（x1,x2,x3）不变时，如果t发生变化，A会发生变化，这是由于时间的变迁而自然发生的变化，其变化量为 [偏(A)/偏t]×dt； 2） 假设A有这样一种本事，它能使时间“凝固”，并且，在时间发生“凝固”的时候它还可以在空间域中移动（克赛，前来拜访！ ^_^ ），这时，如果空间不是“均匀”的，那么，每到一个地方，A都会发生变化，其变化量为 [偏(A)/偏x1]×d(x1) + [偏(A)/偏x2]×d(x2) + [偏(A)/偏x3]×d(x3)；3）现在，我们既考虑1）的情况，又考虑2）的情况，那么，如果A用了一个微小的时间dt，从坐标点M1(x1,x2,x3)移动到了坐标点M2(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3)，这个过程中A发生的变化ΔA= [偏(A)/偏x1]×d(x1) + [偏(A)/偏x2]×d(x2) + [偏(A)/偏x3]×d(x3) + [偏(A)/偏t]×dt。
那么，在dt内，A的变化率就是ΔA/dt=[偏(A)/偏x1]×d(x1)/dt + [偏(A)/偏x2]×d(x2)/dt + [偏(A)/偏x3]×d(x3)/dt + [偏(A)/偏t]；
考虑到dt时间A在x1方向位移了d(x1)，则d(x1)/dt=u，u就是A在dt内由M1移动到M2在x1方向上的分速度，同理，d(x2)/dt=v；d(x3)/dt=w；
于是 ΔA/dt=[偏(A)/偏x1]×u + [偏(A)/偏x2]×v + [偏(A)/偏x3]×w + [偏(A)/偏t]；这个全导数记作 DA/Dt
以上这个解释，只能被看作是一种理解性的，不十分全面的初步解释，而且，是从微元的角度出发，不是从有限大小控制体的积分的角度出发的。

rockandtcl

这个问题在震动论坛上有个帖子，上面给了个高等空动的讲义，上面有详细的介绍。
如果大家有西工大校内使用的那本英文的流体力学基础就明白了。

ZYWXMYSMBKY

收益不少。。。。

xwz

即使是在欧拉空间中也要用跟踪流体质点的观点来理解随流导数，欧拉空间坐标的变化理解为流体质点位置的变化。

通流

不大好理解。这是事实。可好像不是什么错误吧。

可以从物理上来理解，就是那个肯难懂的移动的控制体。也可以就是数学变换。就是多维（空间加上时间，共4维）微分中的全导数与偏导数。最后，你会发现，其实讲的是一个东西。

tintin_napoleon

在下愚見, 只要把連續介質力學里面的描寫一個點的位置的拉格朗日觀點x=x(X,Y,Z,t),XYZ表示質點在t=0時的位置, 速度的定義v=ax(X,Y,Z,t)/at搞清楚, 再自己推一遍物質導數的過程, 就比較容易理解, 說到底最重要的還是數學, 所謂物理思想, 是大自然客觀存在的定理, 沒有理解與否, 只有知道或不知道. 物質導數的物理解釋, 也只有在把這個數學式子的來龍去脈搞清楚了才能明白

loessking

在我看来，那个“物质导数”只不过是个“死胡同”标志而已。

通流

不知你指的是什么意思。

本来就是在欧拉体系中表达拉格朗日表达的表达式。好像没什么问题啊。