[求助] 简单问题 波动方程求解

zyf

[这个贴子最后由zyf在 2003/06/30 04:45pm 第 1 次编辑]

很简单的。杆件的轴向波动问题
波动方程 du^2/dt^2=a^2*du^2/dx^2
x=[0,nx]
t=[0,nt]
边界条件：一边固定，一边自由。
可以写为
        1、  u(0,t)=0
        2、  du/dx=0  (x=1时)
使用普通的五点中心差分显格式。
边界上条件1可以直接给定，条件2利用(nx,k)点的中心差分，表示成(nz-1,k-1),(nz,k-1),(nx,k-2)的函数。(为了满足精度匹配采用中心差分)
初始t=0时，没有位移 u(x,0)=0
时刻t=1时，假设只在x=nx处有小扰动，u(nx,1)=m (给定一个位移) 其他点位移为0
这样 五点中心差分显格式需要的条件都给定了
同时时间步与空间步选择保证不会发散
可是计算出来的结果感觉不太对。 除了 nx附近的几个点位移明显以外，向x=0点的那些基本上都非常小，差几个良机，而且随时间变化不大，
位移都是正值，可是应该正负值交替变化才对的啊。
不知道上面所说的离散方法以及边界条件初始条件处理上有什么问题没哟？请各路高手给指点指点。多谢多谢。搞了一天 头都大了。

sillybear

搞了一天 头都大了?
只搞了一天 头不能大，好多问题一天搞不出来呀。

zyf

可这是个标准的二阶波动方程啊。标准的离散方法，就是初边值条件和教科书上的给发不太一样而已。怀疑是初值给的不合理？ 弄不明白
各位高手，你们做CFD计算，这个波动方程应该是小菜一碟，不在话下的喽。 给我指点一下，我的离散方法，初边值处理有没有什么问题啊？

rockinwind

  你的边界条件2 的提法没看懂
  可以考虑先把边界2 提为： u(nz,k) = u(nz-1,k) 试试，看看结果是否出来
  另外，你的 a 取的是多大？ a 的值反映了波的速度，也许是a太小，
在你算的时间内，振动还没反映出来？
  波动方程数值解我没作过，说的不对请见谅，呵呵

zyf

[这个贴子最后由zyf在 2003/06/30 04:46pm 第 2 次编辑]

这里a=sqrt(E/dencity)  dencity是杆材料密度7800，E是弹性模量2.01e11， a约等于5700左右
边界条件2：因为一端自由，所以在端部的应力为0，应力Sigma=E*du/dx.   （u就是位移，x是坐标。）
有点儿糊涂的是，u应该是对某一个坐标z而言的，u,x,t一一对应。而边界条件2好像是对固定的质点而言，那直接把du/dx=0在nx点离散，好像又不太合适了。但是这个条件又不是自然满足的，可以想像到波动传递到自由端后，会反射，与原来的波动叠加。所以自由端的条件还是要给定。但像顶楼的这么给对不对呢？

MrBHU

a 太大了把， 都不是液体了
你做的是固体波动？

zyf

是弹性体的波动啊。
这个式子也可以转化成一阶对流方程的 dv/dt+a*dv/dx=0

MrBHU

下面引用由zyf在 2003/06/29 07:40pm 发表的内容：
很简单的。杆件的轴向波动问题
波动方程 du^2/dt^2=a^2*du^2/dx^2
x=t=
边界条件：一边固定，一边自由。
使用普通的五点中心差分显格式。
边界上条件1可以直接给定，条件2利用(nx,k)点的中心差分，表示成(nz-1,k-1),(nz,k-1),(nx,k-2)的函数。(为了满足精度匹配采用中心差分)
初始t=0时，没有位移 u(x,0)=0
时刻t=1时，假设只在x=nx处有小扰动，u(nx,1)=m (给定一个位移) 其他点位移为0

你的五点中心差分显格式是离散什么 时间还是空间 d/dx or d/dt?
中心差分，表示成(nz-1,k-1),(nz,k-1),(nx,k-2)的函数
nz是什么的下标？ 是空间吗， 那么k-1, k-2是时间， du/dx空间的中心差分为什么要用到两个时间层？ 而且是k-1, k-2， 不是k