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楼主 |
发表于 2013-11-1 11:36:13
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顺便说一下偏微分方程边界条件的设置问题。我在上面的[285楼]的总结中提到:
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流体的总能量沿速度场是守恒的,即可以写成沿速度场或即“特征线”的全导数。既然是全导数,则就可以对之进行积分,即沿流线积分,所得积分表达式(常数)就是伯努利方程。
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这里所谓的“沿特征线进行积分”在数学上仅仅是针对双曲型方程或也即波动方程而讲的。也就是说,所谓的“沿流线积分”也即在数学上限定了或定义了推导伯努利方程必须是求解一个双曲型方程。因为双曲型方程本质上可以或必须通过“沿特征线积分”而进行求解,其边界条件则也必然由(每根)特征线或也即流线上的一点所给定。例如在本主题帖一开始的[5楼],通流版主出了一个关于伯努利方程的应用题:
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通流:一个水管连着比水管出口高十米的水箱。水管的出口连着大气,水箱也跟大气相连。计算水管出口的水的流速。
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这里的水管就相当于流线或特征线。知道了水管入口处的边界条件,则特征线上其它各点(包括出口处)的值都可通过沿特征线积分而把它求出来。这里的伯努利方程则刚好对应于(全)导数为零,从而沿特征线积分刚好是一常数的特例,即流管各处的总能量是一常数。
说到这里,细心的读者应该理解关于如何设置流场入口、出口处边界条件这一问题了。从数学物理(方程)的角度来讲,首先应该搞清楚所对应的方程究竟是双曲型的波动方程,还是抛物型(或椭圆形)的热传导、扩散方程。对于前者,我们只能给出入口或出口处的一个条件。若同时给出两边界条件,则理论上应该导致问题的矛盾无解。对于后者,则我们必须具备两个边界条件才能数学求解。
这里还能看到;对于给定的某个流场,边界条件的设置同描述流场物理过程的数学模式直接相关。无黏流体的数学模式通常对应于双曲型方程。若在方程中加入黏性项(实际黏性很小,但总是存在的)则应该意识到这一过程更重要的是改变了方程的特性及相关的边界条件的设置。
[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-11-1 11:38 编辑 ] |
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