[讨论]伯努利方程是能量方程还是动量方程？

coolboy

原帖由 shirazbj 于 2012-4-5 16:51 发表

                               
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还是不明白，都不变，还要bernulli方程干什么呀？

这正说明从动量方程直接推导伯努利方程行不通从而有可能导致错误结果吧！前面onesupeng在[51楼]找到的是一个特例，说明有时是可以从动量方程直接推导出伯努利方程的。你这个例子可以说是特例中的特例，得到的解是一个“退化解”。速度处处为常数与速度处处为零的解都是无意义的，是“退化解”。我们知道，牛顿第二定律或流体中的欧拉方程在经过了一个常速度的坐标平移变换之后，方程的形式不变。也就是说，在原有坐标系中的速度处处为常数的一个解同坐标平移变换之后新坐标系中的速度处处为零的解是等价的。这种以常数速度平移的坐标变换也称作伽利略变换。数学上速度处处为零当然也就意味着物理上流体处处静止了。所以说，你（即你看到的那个文献）想从（一维）动量方程直接积分推出伯努利方程，结果却得到了一个流体处处静止的“退化解”。

当然，严格来讲，“退化解”本质上并非是一个“错误”解。它只是一个“无意义”的解，也还可以说是一个“丢面子”解。比如说，我在上面[6楼]的叙述中提到：

“发这个帖子的目的之一也就是说说自己的理解为什么伯努里方程不能作为动量方程来理解。另一个更重要的目的是想通过这个例子来简单介绍一下如何对一类偏微分方程[一阶拟线性偏微分方程（组）]进行求解。”

也就是说，我发这个帖子的主要目的其实是想解释如何理解不少人习惯性或熟视无睹式地老说“沿流线积分”的含义，即如何求解一类偏微分方程。但假如突然跑来一个牛皮哄哄的“大牛”说：什么“沿特征线”或“沿流线”积分的，又是解5个常微分方程什么的，你那个偏微分方程的解还不就是{f=0，u=常数}嘛！这时你还真不能说他错，你只能说：你给出的解只是一个退化解。那人若真能坐下来静心地想一想的话，就应该感到是挺丢人、挺丢面子的了。

我在实际工作中也遇到过几次类似的例子，与编辑、与同行有时正面解释说不通，只能举实例：那个解仅仅是个退化解而已，其相当于有人声称解决了求解大型线性方程组Ax=b的难题，但他实际上得到是一个退化解{b=0，x=0}。那些人再回头看看文章，果然如此，也就服了。

当然，有时也能遇上继续不服气的。例如，在下一个帖子关于窦华书的一个工作的讨论中，我发了如下的评论：

+++++++++++++++++++++
关于流体力学的讨论   [ustcsunl]  [29楼]
http://bbs.lasg.ac.cn/bbs/thread-56846-3-1.html

coolboy：
中学时讲到牛顿定律时一般都会提到运动的相对性，例子一般也就是停在车站的两列火车当其中的一列开始动时，车厢里的人很难判断出到底是哪列火车开始动了。这一现象的数学表述就是：若不考虑相对论效应，则运动方程在伽利略变换下是不变的。即窦华书所得的速度为常数的唯一解同速度处处为零的退化解（U==0,V==0)是等价的。但欧拉方程速度处处为零的退化解是没什么物理意义的。

每当在问题或求解过程中出现速度为常数的解或函数时，理科同学们都应该自然而然地想一下伽利略变换。
+++++++++++++++++++++

但结果大家现在从那帖子中也还能看到，大家对我评论中的“欧拉方程速度处处为零的退化解是没什么物理意义的”那句话没有任何感觉，继续讨论着解的物理意义，或如何从物理的角度验证数学，呵呵。

[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-9-3 01:39 编辑 ]

uesoft

唉，大牛啊，你怎么老纠结着窦华书不放啊？搞点正事喽，揪住爱因斯坦不放或量子力学不放吧，那样才有价值，不委屈你满腹经纶啊！(若我此处有得罪窦华书处，请包涵。其实也没贬低，因为我把窦华书的名字与爱因斯坦、量子力学都排列在一起了。不过，这样排列应该是有问题的。)
搞罗搞罗，你肯定搞得出来的！我有时候是不会看走眼的。

[ 本帖最后由 uesoft 于 2012-4-6 11:20 编辑 ]

coolboy

原帖由 uesoft 于 2012-4-6 11:08 发表

                               
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我不会看走眼的，想当初，我是预言了小布什2000年竞选美国总统第2轮一定赢滴，没走眼吧？

你不是在放“马后炮”吧？看看我的预测：

++++++++++++++++++++++++
关于全球气候变暖   [coolboy]   [103楼]
http://bbs.lasg.ac.cn/bbs/thread-42150-11-1.html

coolboy的预测（2012年3月12日）：美国总统奥巴马在今年（2012年）十一月份的大选中，由于今年年初的暖冬效应使得今年美国的经济显示出持续性的、能体验出的恢复而获胜，再次当选为美国的下一任总统。
++++++++++++++++++++++++

[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-9-3 01:40 编辑 ]

uesoft

大牛眼明手快，确实很精神。我呢，是很神精。唉，这样的预测，真的很精神，但是那个罗姆尼风头也很劲啊，按我2年前的预测，欧巴马2012年有难。不过我也很希望欧巴马连任，罗姆尼2016年再来。大家都搞连任啊，陈水扁、马英九连任，中国也是连任，俄罗斯都是三任了。只有日本人想得开，搞几个月就可以了，大家轮流坐庄，居然还这么发达，简直是一个独一无二的奇迹。这个其实也不算啥，比利时500多天没政府大家过的好好的，中国500多天没政府会怎么样？也许好多人都要背把鸟枪上山落草为寇了...

其实，就算“我是预言了小布什2000年竞选美国总统第2轮一定赢滴，没走眼吧？”又怎么样？顶多说明我只具有普通美国人的判断力。

[ 本帖最后由 uesoft 于 2012-4-6 12:00 编辑 ]

shirazbj

动量方程是这个：r * u * du/dx = - dp/dx

它没说是要推bernulli方程，只是说求解下来的结果形式和bernulli方程一样，用以说明动压的含义。

这有什么问题么？

我是想du/dx和dp/dx都为0，方程两边都为0，还解什么呀。

coolboy

原帖由 shirazbj 于 2012-4-6 15:10 发表

                               
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动量方程是这个：r * u * du/dx = - dp/dx

它没说是要推bernulli方程，只是说求解下来的结果形式和bernulli方程一样，用以说明动压的含义。

这有什么问题么？

我是想du/dx和dp/dx都为0，方程两边都为0，还解什么呀。

为了说明动压的含义就对（一维）动量方程直接积分，其结果是误导了许多读者，让他们把伯努利方程误解为（也可以是）动量方程，这当然是一个大问题了。合理、正确的说明应该是如我前面在[83楼]所述：

原帖由 coolboy 于 2012-4-4 12:41 发表

                               
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其实动压就应该按压力p是位能来理解，即我前面[50楼]根据你及通流版主的分析所描述的那样。有可能“动压”这个概念的引进本身就是当时对伯努利方程究竟是能量方程还是动量方程的误解所引起的。认为伯努利方程是个动量方程，p是一个力，从而试图理解(0.5ru^2)，也应该是一个力。但实际上p和 (0.5ru^2)都是能量。p是位能，(0.5ru^2)是动能。

shirazbj

第1，它没说解的结果就是伯努利方程，只是说形式一样。
第2，这个动量方程是从u,p沿x变化的假定推出来的。如果说u,p不变，就不明白了。

onesupeng

为什么还纠结呢，机械能守恒是运动方程的一次积分，贝努力方程的原始推导以及无旋流中柯西拉格朗日积分就是这样类似的例子。

其实话说回来，无粘流体的假定本上就抛弃了很多东西，没有粘性即没有热传导。没有热传导那能量转化就是机械能之间的转化，外界做功也都转化为机械能。因此能量守恒方程就是动量守恒方程的一次积分。在这层意义上讲，从哪个方程都可以推导出贝努力方程，这个难道还有争议吗？coolboy说动量方程导出贝努力方程这是个特例，我不这么认为。

剩下就是解释贝努力的物理意义。正如我前面早先时候所说，原始贝努力方程是能量的量纲，可以认为是能量守恒。但可以在它上面乘乘除除++--，挖掘出很多书本之外的东西。 简单举个例子Re=\rho U L/ \mu=\rho U^2/L /[\mu U/L^2]， 这层意义是惯性力与粘性力之比； 那么是否也可以写成 Re=\rho U L/ \mu=\rho U^2  /[\mu U/L]，表示为惯性所做的功与粘性力的功之比呢？再有，Re=\rho U L/ \mu=\rho U  /[\mu /L]，这样是否认为是惯性冲量与粘性冲量之比？这仅仅是一部分做法而已，具体你怎么理解，和具体问题有关系，这个课本没办法教，只能在实际研究中磨练，各显神通罢了

注：早先时候我第一次说“机械能守恒是运动方程的一次积分”，好像没人看见啊

[ 本帖最后由 onesupeng 于 2012-4-7 03:03 编辑 ]

coolboy

原帖由 shirazbj 于 2012-4-7 07:54 发表

                               
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第1，它没说解的结果就是伯努利方程，只是说形式一样。
第2，这个动量方程是从u,p沿x变化的假定推出来的。如果说u,p不变，就不明白了。

答1：曾有人说过骗子可以是“有意无意”的骗子。误导当然也可以是“有意无意”的误导了。
答2：从某假设出发，推出矛盾结果，以此来说明原假设的错误。这就是所谓的“反证法”。这里，原“动量方程中u,p沿x变化”的假设不成立。

coolboy

我在主题帖的开篇[1楼]中提到了本帖讨论的三个要求或目的：

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（1）应该从数学物理的角度出发来讨论；
（2）要讲清楚为何是能量方程或动量方程，科学研究并非是民主投票，不能由民意来决定对错；
（3）能量方程或动量方程，二者必居其一，也还要说清楚另一观点的（致命）错误所在。
++++++++++++++++++++++++++++

通过这几天的讨论，我现在认为这三个目的都已基本达到。在这里，coolboy首先要感谢党、感谢政府提供了这一网络平台供大家和谐地交流，其次要感谢周华站长和通流版主的支持和鼓励给予coolboy很大的信心和勇气，最后感谢各位积极参与讨论的网友提供各自的观点和素材。


至此，唯一还需要解释一下的是[6楼]中的那个偏微分方程是如何解出来的？换句话说，那5个常微分方程是怎么得来的？解答如下：

问：我们该如何求得某函数的积分？
答：若我们能知道该函数是如何从某一函数微分而来，则我们也就可以求得该函数的积分了。

例1：如何求得(x^2)对x的积分？答：因为(x^3/3)对x的微分是(x^2)，所以(x^3/3)是(x^2)的积分。
例2：如何求得cos(y)对y的积分？答：因为sin(y)对y的微分是cos(y)，所以sin(y)是cos(y)的积分。

我们要是能构造出某函数(u)沿流线的微分刚好是如下的微分方程的话：

A(@u/@t)+B(@u/@x)+C(@u/@y)+D(@u/@z)=f,

那我们也就求得了该微分方程的积分了。

设某函数u是4个自变量（x,y,z,t)的任意函数：u（x,y,z,t)，其中自变量（x,y,z,t）可以任意取值。我们现在考察此函数沿着某特定的曲线的变化，即自变量（x,y,z,t）不可以任意取值了。我们用参数式来表达此4维空间中的特定曲线：
x=x(s),
y=y(s),
z=z(s),
t=t(s),
其中s是描述曲线变化的参数。所谓“函数沿着某特定的曲线的变化”就是说函数的自变量必须由曲线来限定，即u=u(x(s),y(s),z(s),t(s)),及函数的变化也是由曲线的参数变化而引起。我们用u对s的导数来表示函数沿曲线的（已知）变化，即du/ds=f，这就是[6楼]中的第5个常微分方程。现在我们把du/ds展开，得：

(dt/ds)(@u/@t)+(dx/ds)(@u/@x)+(dy/ds)(@u/@y)+(dz/ds)(@u/@z)=f.

比较上两个偏微分方程左边各项的系数就得出了[6楼]中的另4个常微分方程。同时求解5个常微分方程(组)就得出曲线轨迹及函数u在此轨迹上的值。

shirazbj

原来是不知道贝努力方程怎么来的，学习了以后，现在连动量方程怎么来的都不清楚了，呵呵。

不是说动量方程中u,p沿x变化，而是说要研究的一维流动u,p只沿x变化，以此来导出动量方程，不能这么假定么？

coolboy

原帖由 shirazbj 于 2012-4-7 13:59 发表

                               
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原来是不知道贝努力方程怎么来的，学习了以后，现在连动量方程怎么来的都不清楚了，呵呵。

不是说动量方程中u,p沿x变化，而是说要研究的一维流动u,p只沿x变化，以此来导出动量方程，不能这么假定么？

要研究一维流动u只沿x变化，导出了一维动量方程。但对于流体其实仅仅用动量方程是不够的，一般还需要连续性方程和热力学能量方程。若是不可压，则热力学能量方程可不考虑，但连续性方程总是有的。你现在开始对系统附加各种条件：
（1）定态，
（2）不可压，密度是常数，
（3）压力p处处是常数，
（4）du/dx处处是零。
然后说：咦？怎么u变得是处处常数了呢？我可是要用动量方程研究u沿x变化的呀！

啊？什么？你没有加上条件（3）和（4）？哦，条件（1）和（2）已经很强，足以使得u和p变得处处是常数了。

shirazbj

就是没明白怎么有1和2，就有了3和4.

假设所研究的一小块流体的质量是常数，这等于是考虑连续方程了吧？

coolboy

原帖由 shirazbj 于 2012-4-8 11:18 发表

                               
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就是没明白怎么有1和2，就有了3和4.

假设所研究的一小块流体的质量是常数，这等于是考虑连续方程了吧？

假设所研究的一小块流体的质量是常数，则再加上条件（2）流体的密度也是常数，可知那一小块流体的体积也必须是常数。再根据条件（0），流体是连续介质，小块流体之间在流动过程中不能有空隙，故那一小块流体同邻近的另一小块流体必须以同一速度流动以保证它们的体积为常数。由此，u=常数，这就是条件（4）du/dx处处是零。从这里起，你会推出条件（3）了吧？

[ 本帖最后由 coolboy 于 2012-4-8 13:11 编辑 ]

coolboy

根据条件（1）定态，流体不可能在整个x轴上作处处相同但随时间变化的运动。故那小块流体只能作匀速直线运动。根据牛顿第一定律，作匀速直线运动的小块流体所受外力（-dp/dx）为零，故p处处是常数，这就是条件（3）。