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发表于 2012-6-11 03:03:57
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说到这方法三,必然要说到流体力学中的两种不同形式的守恒律。若仅是泛泛而谈地说质量守恒、能量守恒等常常会引起误解。我在本主题帖一开始的讨论中在[8楼]还刚好说到了这两种不同形式的守恒律:
http://www.cfluid.com/bbs/viewth ... page%3D1&page=1
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守恒律一般可写成两种不同的形式:(1)全导数型,(2)通量型。伯努里方程及其推导和上面[6楼]所有的讨论是建立在全导数型的表达方式上的。这时就有“沿流线的积分”及“沿流线为常数”等的说法。若采用通量型的守恒律,则我们就有(固定)流入流出面(口)的差值同体积内部源汇的守恒关系等的描述。
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所谓伯努里方程全导数型的守恒方程就是指如下的能量方程:
{1} @H/@t+u(@H/@x)+v(@H/@y)+w(@H/@z)=0
其中的H是流体单位质量的总能量。在巴切勒的书中,其(3.5.4)式的总能量包含4项,即流体的(1)动能,(2)热能(内能),(3)压力位能和(4)(重力)位能。
流体的质量一般并不满足全导数型的守恒律。它满足通量型的守恒方程,即
{2} @[rho]/@t+@(u[rho])/@x+@(v[rho])/@y+@(w[rho])/@z=0
或
{2} @[rho]/@t+[DEL]([v_bold][rho])=0
方程{1}两边乘[rho],方程{2}两边乘H,结果相加,则我们可得
{3} @([rho]H)/@t+[DEL]([v_bold][rho]H)=0
即流体的总能量在满足伯努里方程全导数型守恒律的同时,也满足通量型守恒律。但注意到全导数型守恒律指的是单位质量的总能量,而通量型守恒律指的是单位体积的总能量。我们不能仅凭也听说了众所周知的“能量守恒”等等什么的就以为掌握了所有的物理。具体的物理问题需要具体的分析,这过程中数学又是必不可少的工具。
我在本主题帖一开始的[6楼]中还说到:
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注二:只要描述某过程的方程能写成如下形式:@u/@t+B(@u/@x)+C(@u/@y)+D(@u/@z)=0,我们就可认为它的物理意义就是该物理量沿着速度场(B,C,D)的变化是守恒的。例如,若u所对应的是波动力学中的波包能量(或波作用量等),则方程中的(B,C,D)所对应的就是波动传播的群速度。若有人问,什么叫群速度?为什么波动能量按群速度而不是按相速度传播?一个比较高级的答案就是:出现在波动能量方程中(B,C,D)的那些位置的量刚好是波的群速度,或即那些群速度的表达式刚好出现在(B,C,D)的位置上了。
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尽管有“单位质量”或“单位体积”的区别,粗粗地来讲,总能量同时满足两种不同形式的守恒律应该算是一个很好的性质了。一般情况下(如上面说到的波包的例子)能满足一种形式的守恒律就很不错了。
(待续)
[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-9-3 01:55 编辑 ] |
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