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发表于 2012-4-1 13:06:17
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伯努里方程在一般流体力学的教科书中都有推导。例如,巴切勒经典的流体力学书(G. K. Batchelor: In Introduction to Fluid Dynamics)中就有完整的推导。从那些推导中可明显看出伯努里方程是一个能量方程。不过,在一些论坛的讨论中,有时也能看到有些人会有意无意地把它当作一个动量方程来推导或理解。发这个帖子的目的之一也就是说说自己的理解为什么伯努里方程不能作为动量方程来理解。另一个更重要的目的是想通过这个例子来简单介绍一下如何对一类偏微分方程[一阶拟线性偏微分方程(组)]进行求解。记得早年国内理工科非数学专业(本科)数理方程的教科书中很少强调这部分内容,而偏偏流体力学的不少基本方程是一阶(而非二阶)偏微分方程。
我们在中学物理课中就已经学到了能量守恒和转换的原理,其中的一个数学定量化的例子就是质点运动过程中质点动能同重力位能之间的转换。小球抛到最高点时动能为零而位能最大,下落过场中则位能又转换为动能。巴切勒书中3.5节的一开始就又复习了这一过程的数学描述:
F=ma, a=F/m, d[v_bold]/dt=F/m, d(d[s_bold]/dt)/dt=F/m.
质点的位能只与质点的位置有关,与之对应的位势力(矢量)可以表示成某一数量场(位势场)的梯度:
d[v_bold]/dt=-[DEL][PSI], d[v_bold]/dt=-[DEL][PSI]([s_bold]),
d(d[s_bold]/dt)/dt=-[DEL][PSI], d(d[s_bold]/dt)/dt= -[DEL][PSI]([s_bold]).
上面(具有位势力)的动量方程两边同时乘以速度之后可表达成全微分的形式:
[v_bold].d[v_bold]/dt=-(d[s_bold]/dt).[DEL][PSI],
d{([v_bold]^2/2)+[PSI]}/dt=0.
这里,“两边同时乘以速度”即意味着把动量方程转换为能量方程了。也就是说,为把原方程写成全微分的形式,必须要把动量方程转换为能量方程。全微分可直接积分,所得的积分常数就可理解为质点的总能量:
([v_bold]^2/2)+[PSI]=常数。
若有人喜欢抬杠:我就数值求解一开始的F=ma,我还要管它动量、能量这些劳什子的玩意儿吗?答:不用。
把上面的这一基本思想应用到流体时就出现了如下几点需要特别考虑和处理:
(1)流体除了机械能之外也还包括热能(内能)。所以在推导能量方程时,除了欧拉方程之外,也还会加上热能方程。关于这一点,大家看看巴切勒的书就清楚了。
(2)我们以前所遇到的“重力-位能”只是一个特例。更一般的情况是:只要力可以表示成“-[DEL][PSI]”,则我们就有“力-能”的关系,即-[DEL][PSI]表示“力”,[PSI]表示“能”。认识清楚这一点其实是很重要的。有些人对伯努里方程的误解可能也有这个原因。欧拉方程中有一项是压力梯度项:“-[DEL]p”。大家看到p出现在伯努里方程中,而p又称作压力,既然是“力”,想想那也同动量有关了。但实际上,这里的p应该理解为“能”。例如,对于理想气体,压力p正比于温度,而温度正是气体内能的度量。
(3)质点运动由常微分方程(组)来描述,由上面的推导我们看出,若把常微分变换成全微分的形式,就能积分求解。即使是数值求解常微分方程,也是一个比较成熟而易解的问题。但连续介质的流体力学由偏微分方程(组)来描述。我们该如何对偏微分方程来积分求解呢?答:这里,我们可以把偏微分方程转换成常微分方程来求解。这就是这个帖子主要想说的一个议题。
小结一下:推导伯努里方程需经过两个关键步骤:(1)把动量方程转换成能量方程,(2)对流体的偏微分方程积分。
在介绍如何求解偏微分方程之前,我先给出一个例子。这个例子说明了假如对推导伯努里方程的两个关键步骤不理解、不执行的话,则很容易得出错误结果。这个例子取自于我对科学网某博主关于伯努里方程错误推导的评论:
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走火入魔?喜欢炒作三峡的知识群体的科学素养 [水博] [3楼] [6楼] [13楼]
http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=295826&do=blog&id=350943
http://210.75.240.149/home.php?mod=space&uid=295826&do=blog&id=350943
水博:
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......这叫什么“定律”啊?在我看来这不过就是相当于一道大学一年级的普通作业题。只要知道了容器底部的孔口出流速度,应该满足受力等于加速度,再加上知道压强等于流体的受力,加速等于速度微分求导dv/dt,然后对F=m(dv/dt)进行等式变换之后分别对dv和dt积分,就足以推导出这个所谓的“托里拆利定律”公式。......
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Coolboy:
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伯努利定律中的v是标量,博主文中F=m(dv/dt)的v是矢量。尽管两个公式中的速度都用v来表示,但实际上是两个不同的物理量。博主很明显地把它们混淆了。
注:仅有大小没有方向的量称标量,既有大小又有方向的量称矢量。
回[4]楼:我的意思是博主其实不知道伯努利定律是什么。他也没有一步步象文中说的推过。武老师文章说“之后推广到一般情形,称为伯努利定律。”博主把这一句话看漏了,以为托里拆利公式就是伯努利定律。他又说:“分别对dv和dt积分”,等式两边到底是v和t什么样的函数进行积分的呢?一团糟。
伯努利定律其实是能量方程而牛顿第二定律是动量方程。能量是标量而动量是矢量,不同性质的量对应不同性质的方程等等都是很自然、清楚的事.........
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读到这里,读者们应该很清楚该博主的错误所在,他既没把动量方程转换为能量方程,也没对流体的偏微分方程积分,所以按他的说法是不应该正确求得伯努利定律的。
流体力学中的不少方程都可以表示成如下的所谓的一阶拟线性偏微分方程(组):
A(x,y,z,t,u)(@u/@t)+B(x,y,z,t,u)(@u/@x)
+C(x,y,z,t,u)(@u/@y)+D(x,y,z,t,u)(@u/@z)=f(x,y,z,t,u),
其中x,y,z,t是自变量,u是因变量(可以是矢量),系数A,B,C,D及右端的外源项f都可以是x,y,z,t的函数。这里只给出因变量u仅仅是数量(对应于伯努利方程中的总能量)的结果。对更一般的因变量u是矢量的情形,可参考有关课本、专著。上面的偏微分方程可以转换为如下的常微分方程组进行求解:
dt/ds=A(x,y,z,t,u),
dx/ds=B(x,y,z,t,u),
dy/ds=C(x,y,z,t,u),
dz/ds=D(x,y,z,t,u),
du/ds=f(x,y,z,t,u),
其中s是参变量。注意到原来偏微分方程中的自变量、因变量都成了常微分方程中的因变量,而新引进的参变量成了常微分方程的自变量。求解上述常微分方程组不应该是一件难事。这里,最重要的一个特例是:A(x,y,z,t,u)=1及f(x,y,z,t,u)=0。这时,原偏微分方程可写成:
@u/@t+B(@u/@x)+C(@u/@y)+D(@u/@z)=0.
而上面第一个及最后一个常微分方程的解是:
t=s,
u=常数。
把t=s的解代入到上面第2至第4个常微分方程可得出:
dx/dt=B(x,y,z,t,u),
dy/dt=C(x,y,z,t,u),
dz/dt=D(x,y,z,t,u)。
但这三个方程的左端项刚好对应于流体速度场的三个分量。流体块在沿着由此速度场确定的轨迹流动时,其所对应的(原偏微分方程中的)u是一个常数。此流体轨迹在数学上也称为“特征线”,在伯努利方程推导中常称“沿流线积分”就是“沿特征线积分”。所谓“沿流线积分”其实也就是求解上述的5个常微分方程组。
注一:求解常微分方程所得的积分常数是真正的常数。另一方面,即使有时偏微分方程能简化为直接可积的形式(如@B/@x=C),由于其“积分常数”实际上是其它自变量的任意函数,其意义也不是很大。
注二:只要描述某过程的方程能写成如下形式:@u/@t+B(@u/@x)+C(@u/@y)+D(@u/@z)=0,我们就可认为它的物理意义就是该物理量沿着速度场(B,C,D)的变化是守恒的。例如,若u所对应的是波动力学中的波包能量(或波作用量等),则方程中的(B,C,D)所对应的就是波动传播的群速度。若有人问,什么叫群速度?为什么波动能量按群速度而不是按相速度传播?一个比较高级的答案就是:出现在波动能量方程中(B,C,D)的那些位置的量刚好是波的群速度,或即那些群速度的表达式刚好出现在(B,C,D)的位置上了。
这次就想了、写了这么多。以后若还有新想到的,就再补充说明。 |
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