[讨论]伯努利方程是能量方程还是动量方程？

coolboy

我在下一个帖子的讨论中提到了欧拉方程和伯努利方程：

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[讨论]量子力学和流体力学有多大联系？   [48楼]
http://www.cfluid.com/thread-45337-4-5.html

coolboy：“从Vlasov方程推出欧拉方程的近似简化程度几乎类似等价于从欧拉方程推出伯努里方程的近似简化。”
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尽管在推导中用到的欧拉方程是一个动量方程，但伯努利方程的数学物理解释应该是一个能量方程。不少教科书上也说伯努利方程是一个能量方程。但也有人会认为伯努利方程是一个动量方程，毕竟推导中用到的欧拉方程是一个动量方程。大家不妨就此问题讨论一下：伯努利方程究竟是一个能量方程还是一个动量方程？

（1）应该从数学物理的角度出发来讨论；
（2）要讲清楚为何是能量方程或动量方程，科学研究并非是民主投票，不能由民意来决定对错；
（3）能量方程或动量方程，二者必居其一，也还要说清楚另一观点的（致命）错误所在。

我的观点：伯努利方程是一个能量方程。我过几天（工作太忙的话就过几星期）会给出我的解释。先看看大家的讨论，看看会不会有同我部分或完全一致的合理（正确）解释。

coolboy

原帖由 shirazbj 于 2012-4-5 16:51 发表

                               
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还是不明白，都不变，还要bernulli方程干什么呀？

这正说明从动量方程直接推导伯努利方程行不通从而有可能导致错误结果吧！前面onesupeng在[51楼]找到的是一个特例，说明有时是可以从动量方程直接推导出伯努利方程的。你这个例子可以说是特例中的特例，得到的解是一个“退化解”。速度处处为常数与速度处处为零的解都是无意义的，是“退化解”。我们知道，牛顿第二定律或流体中的欧拉方程在经过了一个常速度的坐标平移变换之后，方程的形式不变。也就是说，在原有坐标系中的速度处处为常数的一个解同坐标平移变换之后新坐标系中的速度处处为零的解是等价的。这种以常数速度平移的坐标变换也称作伽利略变换。数学上速度处处为零当然也就意味着物理上流体处处静止了。所以说，你（即你看到的那个文献）想从（一维）动量方程直接积分推出伯努利方程，结果却得到了一个流体处处静止的“退化解”。

当然，严格来讲，“退化解”本质上并非是一个“错误”解。它只是一个“无意义”的解，也还可以说是一个“丢面子”解。比如说，我在上面[6楼]的叙述中提到：

“发这个帖子的目的之一也就是说说自己的理解为什么伯努里方程不能作为动量方程来理解。另一个更重要的目的是想通过这个例子来简单介绍一下如何对一类偏微分方程[一阶拟线性偏微分方程（组）]进行求解。”

也就是说，我发这个帖子的主要目的其实是想解释如何理解不少人习惯性或熟视无睹式地老说“沿流线积分”的含义，即如何求解一类偏微分方程。但假如突然跑来一个牛皮哄哄的“大牛”说：什么“沿特征线”或“沿流线”积分的，又是解5个常微分方程什么的，你那个偏微分方程的解还不就是{f=0，u=常数}嘛！这时你还真不能说他错，你只能说：你给出的解只是一个退化解。那人若真能坐下来静心地想一想的话，就应该感到是挺丢人、挺丢面子的了。

我在实际工作中也遇到过几次类似的例子，与编辑、与同行有时正面解释说不通，只能举实例：那个解仅仅是个退化解而已，其相当于有人声称解决了求解大型线性方程组Ax=b的难题，但他实际上得到是一个退化解{b=0，x=0}。那些人再回头看看文章，果然如此，也就服了。

当然，有时也能遇上继续不服气的。例如，在下一个帖子关于窦华书的一个工作的讨论中，我发了如下的评论：

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关于流体力学的讨论   [ustcsunl]  [29楼]
http://bbs.lasg.ac.cn/bbs/thread-56846-3-1.html

coolboy：
中学时讲到牛顿定律时一般都会提到运动的相对性，例子一般也就是停在车站的两列火车当其中的一列开始动时，车厢里的人很难判断出到底是哪列火车开始动了。这一现象的数学表述就是：若不考虑相对论效应，则运动方程在伽利略变换下是不变的。即窦华书所得的速度为常数的唯一解同速度处处为零的退化解（U==0,V==0)是等价的。但欧拉方程速度处处为零的退化解是没什么物理意义的。

每当在问题或求解过程中出现速度为常数的解或函数时，理科同学们都应该自然而然地想一下伽利略变换。
+++++++++++++++++++++

但结果大家现在从那帖子中也还能看到，大家对我评论中的“欧拉方程速度处处为零的退化解是没什么物理意义的”那句话没有任何感觉，继续讨论着解的物理意义，或如何从物理的角度验证数学，呵呵。

[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-9-3 01:39 编辑 ]

通流

先顶一下。

我相信，这样的讨论，能够给大家很多课堂里老师讲不到的东西。我甚至认为，这样的讨论所涉及的内容，会超出巴切勒书中对这问题的讨论的广度和深度。

coolboy

多亏在临发贴之前又翻了一下巴切勒，要不然真会给通流版主吓出一身冷汗来。

通流

既然coolboy这么有信心的觉得自己的是合理的（正确）解释，那么我当然觉得这个解释不会比巴切勒的差。俗话说，三个臭皮匠赛过诸葛亮，论坛中这么多人，连这个信心都没有的话，那还真的是悲哀了。

通流

看起来，coolboy的名声把大家都镇住了。我先来发点我的看法

伯努利是动量方程沿流线的积分。所以，伯努利是动量方程应该还是比较容易理解的。牛顿第二定律是力跟加速度的关系。力乘以距离是功，所以伯努利方程又是以功和能的形式出现。那么，伯努利方程是不是能量方程呢？这个先留在这里。

对于伯努利方程理解，还是要看到底是如何应用。我先给几个情况，看看大家如何处理。
（1）一个水管连着比水管出口高十米的水箱。水管的出口连着大气，水箱也跟大气相连。计算水管出口的水的流速。
（2）如果水管后接着一个面积突然变化的直管，直管比较长。这时，出口的流速是多少？
（3）伯努利方程能否用在射流？为什么？
（4）空气通过激波，这时候伯努利能不能用？为什么？

coolboy

伯努里方程在一般流体力学的教科书中都有推导。例如，巴切勒经典的流体力学书（G. K. Batchelor: In Introduction to Fluid Dynamics）中就有完整的推导。从那些推导中可明显看出伯努里方程是一个能量方程。不过，在一些论坛的讨论中，有时也能看到有些人会有意无意地把它当作一个动量方程来推导或理解。发这个帖子的目的之一也就是说说自己的理解为什么伯努里方程不能作为动量方程来理解。另一个更重要的目的是想通过这个例子来简单介绍一下如何对一类偏微分方程[一阶拟线性偏微分方程（组）]进行求解。记得早年国内理工科非数学专业（本科）数理方程的教科书中很少强调这部分内容，而偏偏流体力学的不少基本方程是一阶（而非二阶）偏微分方程。

我们在中学物理课中就已经学到了能量守恒和转换的原理，其中的一个数学定量化的例子就是质点运动过程中质点动能同重力位能之间的转换。小球抛到最高点时动能为零而位能最大，下落过场中则位能又转换为动能。巴切勒书中3.5节的一开始就又复习了这一过程的数学描述：

F=ma,   a=F/m,   d[v_bold]/dt=F/m,   d(d[s_bold]/dt)/dt=F/m.

质点的位能只与质点的位置有关，与之对应的位势力（矢量）可以表示成某一数量场（位势场）的梯度：

d[v_bold]/dt=-[DEL][PSI],   d[v_bold]/dt=-[DEL][PSI]([s_bold]),
d(d[s_bold]/dt)/dt=-[DEL][PSI],   d(d[s_bold]/dt)/dt= -[DEL][PSI]([s_bold]).

上面（具有位势力）的动量方程两边同时乘以速度之后可表达成全微分的形式：

[v_bold].d[v_bold]/dt=-(d[s_bold]/dt).[DEL][PSI],
d{([v_bold]^2/2)+[PSI]}/dt=0.

这里，“两边同时乘以速度”即意味着把动量方程转换为能量方程了。也就是说，为把原方程写成全微分的形式，必须要把动量方程转换为能量方程。全微分可直接积分，所得的积分常数就可理解为质点的总能量：

([v_bold]^2/2)+[PSI]=常数。

若有人喜欢抬杠：我就数值求解一开始的F=ma，我还要管它动量、能量这些劳什子的玩意儿吗？答：不用。


把上面的这一基本思想应用到流体时就出现了如下几点需要特别考虑和处理：

（1）流体除了机械能之外也还包括热能（内能）。所以在推导能量方程时，除了欧拉方程之外，也还会加上热能方程。关于这一点，大家看看巴切勒的书就清楚了。

（2）我们以前所遇到的“重力-位能”只是一个特例。更一般的情况是：只要力可以表示成“-[DEL][PSI]”，则我们就有“力-能”的关系，即-[DEL][PSI]表示“力”，[PSI]表示“能”。认识清楚这一点其实是很重要的。有些人对伯努里方程的误解可能也有这个原因。欧拉方程中有一项是压力梯度项：“-[DEL]p”。大家看到p出现在伯努里方程中，而p又称作压力，既然是“力”，想想那也同动量有关了。但实际上，这里的p应该理解为“能”。例如，对于理想气体，压力p正比于温度，而温度正是气体内能的度量。

（3）质点运动由常微分方程（组）来描述，由上面的推导我们看出，若把常微分变换成全微分的形式，就能积分求解。即使是数值求解常微分方程，也是一个比较成熟而易解的问题。但连续介质的流体力学由偏微分方程（组）来描述。我们该如何对偏微分方程来积分求解呢？答：这里，我们可以把偏微分方程转换成常微分方程来求解。这就是这个帖子主要想说的一个议题。

小结一下：推导伯努里方程需经过两个关键步骤：（1）把动量方程转换成能量方程，（2）对流体的偏微分方程积分。

在介绍如何求解偏微分方程之前，我先给出一个例子。这个例子说明了假如对推导伯努里方程的两个关键步骤不理解、不执行的话，则很容易得出错误结果。这个例子取自于我对科学网某博主关于伯努里方程错误推导的评论：

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走火入魔？喜欢炒作三峡的知识群体的科学素养 [水博]   [3楼] [6楼] [13楼]
http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=295826&do=blog&id=350943
http://210.75.240.149/home.php?mod=space&uid=295826&do=blog&id=350943

水博：
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......这叫什么“定律”啊?在我看来这不过就是相当于一道大学一年级的普通作业题。只要知道了容器底部的孔口出流速度，应该满足受力等于加速度，再加上知道压强等于流体的受力，加速等于速度微分求导dv/dt，然后对F=m(dv/dt)进行等式变换之后分别对dv和dt积分，就足以推导出这个所谓的“托里拆利定律”公式。......
+++++++++++

Coolboy：
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伯努利定律中的v是标量，博主文中F=m(dv/dt)的v是矢量。尽管两个公式中的速度都用v来表示，但实际上是两个不同的物理量。博主很明显地把它们混淆了。
注：仅有大小没有方向的量称标量，既有大小又有方向的量称矢量。

回[4]楼：我的意思是博主其实不知道伯努利定律是什么。他也没有一步步象文中说的推过。武老师文章说“之后推广到一般情形，称为伯努利定律。”博主把这一句话看漏了，以为托里拆利公式就是伯努利定律。他又说：“分别对dv和dt积分”，等式两边到底是v和t什么样的函数进行积分的呢？一团糟。

伯努利定律其实是能量方程而牛顿第二定律是动量方程。能量是标量而动量是矢量，不同性质的量对应不同性质的方程等等都是很自然、清楚的事.........
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读到这里，读者们应该很清楚该博主的错误所在，他既没把动量方程转换为能量方程，也没对流体的偏微分方程积分，所以按他的说法是不应该正确求得伯努利定律的。

流体力学中的不少方程都可以表示成如下的所谓的一阶拟线性偏微分方程（组）：

A(x,y,z,t,u)(@u/@t)+B(x,y,z,t,u)(@u/@x)
     +C(x,y,z,t,u)(@u/@y)+D(x,y,z,t,u)(@u/@z)=f(x,y,z,t,u),

其中x,y,z,t是自变量，u是因变量（可以是矢量），系数A,B,C,D及右端的外源项f都可以是x,y,z,t的函数。这里只给出因变量u仅仅是数量（对应于伯努利方程中的总能量）的结果。对更一般的因变量u是矢量的情形，可参考有关课本、专著。上面的偏微分方程可以转换为如下的常微分方程组进行求解：

dt/ds=A(x,y,z,t,u),
dx/ds=B(x,y,z,t,u),
dy/ds=C(x,y,z,t,u),
dz/ds=D(x,y,z,t,u),
du/ds=f(x,y,z,t,u),

其中s是参变量。注意到原来偏微分方程中的自变量、因变量都成了常微分方程中的因变量，而新引进的参变量成了常微分方程的自变量。求解上述常微分方程组不应该是一件难事。这里，最重要的一个特例是：A(x,y,z,t,u)=1及f(x,y,z,t,u)=0。这时，原偏微分方程可写成：

@u/@t+B(@u/@x)+C(@u/@y)+D(@u/@z)=0.

而上面第一个及最后一个常微分方程的解是：

t=s,
u=常数。

把t=s的解代入到上面第2至第4个常微分方程可得出：

dx/dt=B(x,y,z,t,u),
dy/dt=C(x,y,z,t,u),
dz/dt=D(x,y,z,t,u)。

但这三个方程的左端项刚好对应于流体速度场的三个分量。流体块在沿着由此速度场确定的轨迹流动时，其所对应的（原偏微分方程中的）u是一个常数。此流体轨迹在数学上也称为“特征线”，在伯努利方程推导中常称“沿流线积分”就是“沿特征线积分”。所谓“沿流线积分”其实也就是求解上述的5个常微分方程组。

注一：求解常微分方程所得的积分常数是真正的常数。另一方面，即使有时偏微分方程能简化为直接可积的形式（如@B/@x=C），由于其“积分常数”实际上是其它自变量的任意函数，其意义也不是很大。

注二：只要描述某过程的方程能写成如下形式：@u/@t+B(@u/@x)+C(@u/@y)+D(@u/@z)=0，我们就可认为它的物理意义就是该物理量沿着速度场（B,C,D）的变化是守恒的。例如，若u所对应的是波动力学中的波包能量（或波作用量等），则方程中的（B,C,D）所对应的就是波动传播的群速度。若有人问，什么叫群速度？为什么波动能量按群速度而不是按相速度传播？一个比较高级的答案就是：出现在波动能量方程中（B,C,D）的那些位置的量刚好是波的群速度，或即那些群速度的表达式刚好出现在（B,C,D）的位置上了。


这次就想了、写了这么多。以后若还有新想到的，就再补充说明。

shirazbj

Bernoulli方程也可以从热力学能量守恒方程推出：
ht2 - ht1 = q - wsh
即进出口的总焓差等于热输入减去流体做的功。这后两项都是0.

它的几个限制：
无粘
稳态
不可压
无热输入
可忽略的高度变化

[ 本帖最后由 shirazbj 于 2012-4-1 19:36 编辑 ]

coolboy

原帖由 shirazbj 于 2012-4-1 13:56 发表

                               
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Bernoulli方程也可以从热力学能量守恒方程推出：
ht2 - ht1 = q - wsh
即进出口的总焓差等于热输入减去流体做的功。这后两项都是0.

它的几个限制：
无粘
稳态
不可压
无热输入
可忽略的高度变化

我在上面的[6楼]中提到：
+++++++++++
（1）流体除了机械能之外也还包括热能（内能）。所以在推导能量方程时，除了欧拉方程之外，也还会加上热能方程。
+++++++++++

你说的例子应该就是(仅仅)应用热力学能量守恒方程来叙述流动过程中的总能量守恒。

另外，守恒律一般可写成两种不同的形式：（1）全导数型，（2）通量型。伯努里方程及其推导和上面[6楼]所有的讨论是建立在全导数型的表达方式上的。这时就有“沿流线的积分”及“沿流线为常数”等的说法。若采用通量型的守恒律，则我们就有（固定）流入流出面（口）的差值同体积内部源汇的守恒关系等的描述。

[ 本帖最后由 coolboy 于 2012-4-1 21:17 编辑 ]

uesoft

请解释：能量、动量、力。
我估计把它们解释清楚了可以得诺贝奖。
还有积分、常微分、偏微分，和它们的一阶、2阶、N阶概念，这些工具有本质区别吗？我认为没有本质区别!

通流

看起来这个事情还是要一点一点来。
首先，大家知道，牛顿第二定律不是能量。能量守恒是热力学第一定律。所以，能够从牛顿定律推出能量守恒的想法是不能实现的。

我终于翻了翻巴切勒的书里关于伯努利方程的章节了。巴切勒的那个章节挺有意思的。一开始，是对牛顿定律积分，后来又直接从能量守恒（也就是热力学第一定律）开始推导，更合理的说法，是解释伯努利定理。最后基本就是把伯努利定理就理解成沿流线的能量方程。当然，既然伯努利是从能量方程开始的，那么其物理解释也就是能量。

我没有读过伯努利本人到底是怎么推出这个方程的。所以，我并不能判断巴切勒的做法是不是合适。普朗特的伯努利是从牛顿第二定律开始推导的。他的解释其实也是能量。不过那只是局限在机械能守恒。机械能守恒并不是热力学第一定律。热力学第一定律讲的是各种能量之间的转换关系。当年主要是关于机械能跟热能的转换关系。

也就是说，从动量方程出发，不管数学上如何处理，是不可能搞出个能量方程的。搞来搞去，也就是一个机械能方程。所以，人们可以用能量的角度来解释这些项。但这并不能说这就是能量守恒定律（热力学第一定律）。

我总是先努力搞通物理，然后才进行数学推导。我虽然没有读coolboy的推导，不过我相信这些推导应该是没有问题的。

[ 本帖最后由 通流 于 2012-4-2 05:00 编辑 ]

coolboy

原帖由 uesoft 于 2012-4-1 21:40 发表

                               
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请解释：能量、动量、力。
我估计把它们解释清楚了可以得诺贝奖。
还有积分、常微分、偏微分，和它们的一阶、2阶、N阶概念，这些工具有本质区别吗？我认为没有本质区别!

我在上面[6楼]的叙述中提到：

“若有人喜欢抬杠：我就数值求解一开始的F=ma，我还要管它动量、能量这些劳什子的玩意儿吗？答：不用。”

其实我在写这句话的时候就想着：这个“有人”该会是谁呢？............呵呵。

你知道统计中的“平均”和“方差”的区别吗？尽管数学上都是通过加减乘除的运算得出，这些工具并没有本质区别，但在现实中的意义是不一样的。“平均”对应于分布函数的一阶距，而“方差”则对应于分布函数的二阶距。那“动量”和“能量”的物理含义其实也分别对应于“平均”和“方差”的概念。这种对应在从Vlasov方程推出欧拉方程及从更一般的输运方程推出纳维-斯托克斯方程的过程中是很清楚的。但从下一帖子的讨论中已知，你刚好不知如何从Vlasov方程推出欧拉方程等：

http://www.cfluid.com/thread-45337-4-5.html

所以我的解释也就只能到此为止了。

关于“力”的概念，就说一下摩擦力的概念吧！记得很久以前还在中学的时候，我曾读过恩格斯的《自然辩证法》。恩格斯在说到摩擦的时候曾这样地表述过：“机械运动消失的第二种形式是摩擦和碰撞——这二者仅仅在程度上有所不同。摩擦可以看作一个跟着一个和一个挨着一个发生的一连串小的碰撞；碰撞可以看作集中于一个瞬间和一个地方的摩擦。摩擦是缓慢的碰撞，碰撞是激烈的摩擦。”这是一种朴素的唯物主义的辩证观。我刚好可用在这里朴素地回答一下什么是“摩擦力”的问题：摩擦力就是一种程度上有所不同的碰撞力。
    

coolboy

“当局者迷，旁观者清。” 我认为通流版主及有些人的错误或误解的根源是：在习惯性或熟视无睹式地老说着“沿流线积分”的这句话时，其实并不清楚这句话的真实含义。

通流

那“动量”和“能量”的物理含义其实也分别对应于“平均”和“方差”的概念。
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我并不知道那个Vlasov方程。不过我猜一下，这里的能量大概是内能的意思。

coolboy

原帖由 通流 于 2012-4-2 02:03 发表

                               
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我并不知道那个Vlasov方程。不过我猜一下，这里的能量大概是内能的意思。

猜对了。运动粒子或质点的平均动能是温度，而温度正是内能的度量。

通流

这个也就是你这么认为罢了。本来，这个数学跟物理，以及人们的比较“低级”的理解并不应该产生矛盾。
我说的更直接一点，说自己的理解比较高级这本身就很不合适。俗话说，深入浅出。我的理解是只有深刻理解，才能够用比较“低级”的话把物理概念讲清楚。我不能说我的理解有多深刻。不过我至少知道我是向这个方向努力。

[ 本帖最后由 通流 于 2012-4-2 04:53 编辑 ]