百年集论的症结之一：将无穷集的一部分误为其全部

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百年集论的症结之一：将无穷集的一部分误为其全部
  ——两集不对等就更谈不上相等
黄小宁
（通讯：广州市华南师大南区9-303  邮编510631）
[摘要]集合论问世30年后的1908年著名数学家和物理学家庞加莱作出极其惊人的预见：下一代人将把集论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。此“病”缘于自有函数概念几百年来一直搞错了许多变量的变域而将两异集误为同一集。

1.“（0，1）～（0，10）”是重大误解
两不交的集A、B的并是直和A+B=H。D=（0，1），L=（0，10）=D+[1，10）的一小部分D各元x均变为y=10x∈L得元为y的Z～D。问题是[1][2]指出Z≠L而只是L的一小部分。理由之一是谁也不能将L各元x与Z各元y=10x∈L一一配对（注：Z各数10x的对应数x的全体组成的集是D&Igrave;L而非L=D+[1，10），鲜明对比的是L各元x均换为10x得Z′才～L。），故Z不可～L当然就更谈不上=L了。关键是Z的全部元y与L的一小部分D各元x一一配对就将Z的元y都配光了，根本不能还有元y再与L-D的元x配对；无论如何改变配对法则都不能改变“Z的全部元y只能...而不能与L的全部元x一一配对”这一性质。理由之二：据起码逻辑学常识“若有序集V从大到小的一切元y都有对应x<y则必至少有一数x<V一切元y。”由Z从大到小的一切元y=10x都有对应x（∈D&Igrave;L）<y知L必至少有一数x<Z一切元y，Z不可包含L的全部数表明Z只是L的一部分。“任意一个”是全称量词，“对于Z的任一（一切）元y都有正数x<y即Z各元y>x∈D&Igrave;L”中的y可一个不漏地遍取Z一切数y使代表数的x必可一个不漏地遍比Z一切y都小而代表（取）Z外的数x∈L。
故自有函数概念几百年来一直公认的“定义域为D=（0，1）的y=10x的值域Z=L=（0，10）”是将两异集误为同一集的重大根本错误。这使康脱误以为Z～D中的D～L。同理，“（0，1）～（0，100）”等等，都是重大错误。总之，搞错了变量的变域使康脱推出错误的...。例y=1010x+余项x=（1010+1）x≈主部1010x+0>>x>0是说误差余部x>0与y的主部1010x相比实在是总距0太近了以致于可视其为0而忽略不计，然而中学数学竟断定此x>0可遍取一切正数即断定y的定义域包含一切正数。关键是有起码数学常识：绝不可将可取一切正数的x视为0而忽略。详论见[1][2]。
须特别注意：[1][2]指出线段点集（0，k）&Igrave;x轴与数集（0，k）有根本区别，数形结合须跃出根本误区。
2.定义域为R+的y=10x、…的值域≠R+
放大镜将点集—放大为——；橡皮筋（橡皮点集）拉长后各点都变长了，但各点的前后顺序关系没变。这都是有序集的元的保序变换。“R各点（数）”显示R是点（数）集。R各点x均保序变为点y=x得元为点y=x的y=x轴=R。集A=B是说A的元x与B的元y可一一对应相等。
   同序元概念：有序集如数轴A各数x在A内分别都有一定的大小“名次”。A各元x均保序变为y=g（x）（变量y是增函数）就得A的保序变换集B=g（A），x∈A在A中的大小名次与g（x）∈B在B中的大小名次是一样的，称y与x互为同序元。显然有
h定理：元为x的有序数集A保序变为B=g（A），A=B的充要条件是恒有x=g（x）（凡同序元必相等）；显然必要条件：变换是保距变换（x轴与y轴的保序变换式y=kx（k是有穷正数）中的k=1时是保距变换，两轴若不全等就更不可重合相等）。
故R各点x均保序变为点y（x）=x/k（有穷数k>1）得元是点y=x/k的y=x/k轴就≠R了，因x与其同序元y=x/k不可恒相等；…；同理R各点x均保序保距变为点y=x+a>x（a>0）得y=x+a轴Z≠R；…。故定义域为R或R+的增函数y（x）=kx（正数k≠1）等的变域必≠R或R+，中学将y=x轴与用而不知的y=2x轴、y=x/2轴、y=10x轴等无穷多各根本不同的轴误为同一轴：y=x轴。故y（x）=kx（k=有穷正数如1，1.2，1.3，…）∈R的定义域是各不相同的。
R各元x都×有穷正数k≠1变为kx得元是kx的集可记为kR。由h定理R≠kR。详论见[1][2]。
                                             参考文献
[1]黄小宁，发现最小正数推翻百年集论消除2500年芝诺悖论——中学重大错误：将无穷多各根本不同的点集误为同一集[J]，中国科技信息，2010（18）。
[2]黄小宁，“时空量子化”的关键：纠正数学课本一系列重大错误——证明实数轴有最小、大正数点推翻百年集论[J]，科技信息，2011（17）.
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