[原创]教科书常见错误之四：物质导数的物理解释是什么？

tintin_napoleon

看暈了, 能請你解釋一下嗎? 謝謝

通流

流场的一个流体微团的物理量（如速度）为
V（t,x,y,z)=V（t,x(t),y(t),z(t))
DV/Dt=dV/dt +dV/dx*dx/dt+dV/dy*dy/dt+dV/dz*dz/dt
d代表偏微分，
公式左面是拉格朗日描述流动的方式
公式右面是欧拉描述流动的方式

dx/dt=Ux
dy/dt=Uy
dz/dt=Vz

loessking

本来是对“物质导数”这样的字眼产生的直觉，版主要求解释，加上以前我在本版上就流体研究方法说过相似的话，于是把相关见解梳理一下给出以下两个可选“解释”：（注：本题所称物质是指流体 [fluid]，如空气和水）
●  如果存在所谓“物质导数”，从数学角度就意味着存在与其对应的连续函数，换句话说，“物质导数”与“存在流体（时空）运动函数”是等价的。如此就给那些企图用此思路研究流动现象的人巨大诱惑——只要进行适当数学变换，加上初始条件就可获得该连续函数，就像已知 g 而要“数学地”描述自由落体那样简单。不过我们应当记住：不管你作出多么美妙的函数关系，导数都是进行无穷小量分析时变量之比的极限（定值，即不可以是未定式）。
●  我们知道，流动现象的基本角色是流体分子，它们是具有确定质量、能量、占据确定空间、基于某种相互作用（interaction）机理保持相对运动的粒子。基于这些属性（一些被现代物理称之为“量子属性”），它们已经不宜再被看作是一个个“质点”（即可以忽略其实际占据的空间），很明显:  1) 这时已经不可随意就这些基本物理量对空间（向下）求导——因为那样做，不是与事实相悖就是无意义；2) 流体分子的运动“只”与其邻居的运动状态直接相关，与坐标原点位置无关；进一步，既使无外力做功，流体内部两个相邻分子相对于坐标原点甚至可能具有相反动量；若有外力做功，那么这个外力也要经受某种“改编”，不像我们玩台球，比较容易预测被击球的动量变化，当然对于中国学生，把这种情况类比成“上头的政策到了基层往往会走样”可能更贴近生活经验；3）微观即分子层面上，流体既不均匀、也不连续，所以不应当存在相对于某一原点的、精准刻画流体运动（如动量）的通式 。不过这样一来，势必要求放弃流体研究的传统假设（均匀和连续）。还有，关于这两点，读者可参阅 http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_motion  或直接找  Albert Einstein 的有关论文可能会有所帮助。
●  我认为，上列两点已经从不同侧面否定了“物质导数”概念的合理性，合并后即可否定应用所谓“物质导数”研究流体（运动）的恰当性，换句话说那只不过是个“死胡同”——是为我的第一个“解释”。
  ——一点历史认知：在天才数学家 Leonhard Paul Euler （1707 -- 1783）生活的年代，人们自然而然地认为，水就像时间和空间一样，可以被无限分割（依然是水）；他去世近90年后，人类才有了第一张残缺的元素周期表；而 E = hν  是 Max Karl Ernst Ludwig Planck（1858 -- 1947）在20世纪初的发现；近了几十年来，又有一批从微观层次操控、测量物质的技术如 NMR，STM等加入应用。因此如果我们现在考虑问题的方法与他们那时有所不同 ，或许可以被谅解吧！            
●  在这里讨论问题，我没有“一杆子打翻一船人”的企图，更没有要砸什么人“饭碗”的意思，所以对那些看了第一个“解释”感到不爽的网友，这里自动呈上第二个“解释”：一通自以为是的瞎掰，不必介意。再就是我写这些文字的基本着眼点是让那些理工科尤其是学习流体课程的学生能够看得明白。
●  其他问题。通流2011.3.25针对我的一个回帖曾写道：“…… 伯努利使用在流线上的。但是如果有粘性的话，这个伯努利还怎么用呢？还有，是什么决定了静压？是速度吗？还是反过来，是静压决定了流速？”
  这里实际提了两个问题，但我根本不相信他会不知道第二个问题的答案，那个看起来更像一道考题，那次也没有回复。今就第一个问题简单说几句： 伯努利原理（定理、公式）的实质，是能量守恒定律在流体及其运动上的显现。它指出，单位质量流体拥有的能量由三部分组成：动能、势能、热能（工程上一般称动压、高程、静压），三项合计为常量（不随时间变化）。所以其某一部分发生变化必有其他部分（一项或两项）的相应变化与之相伴；一个流场中流速高的区域静压低些，反之则反之——那是由于它要遵从能量守恒定律，并不是为你的流线、粘性什么的而存在。举个简单例子，我们看见一杯水，知道靠近杯底部分压强高于杯口，但无论杯底还是杯口，每毫升水的总能量却是相等的。另外这个话题读者可参阅 http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_Principle ，我就不啰嗦了。

[ 本帖最后由 loessking 于 2011-8-30 17:42 编辑 ]

通流

这个帖子内容比较多，我一下子也没有全看明白。就写点我的理解。

这里的逻辑是混淆了连续介质假定（或者近似），以及在连续介质假定下，使用数学工具来描述流体运动的方法（也就是那些微分方程）。

伯努利是动量方程沿流线的表达。对于不可压流动，又相当于机械能守恒，怎么会有热能呢？高程和静压都是势能。

uesoft

1，这里的逻辑是混淆了连续介质假定（或者近似），以及在连续介质假定下，使用数学工具来描述流体运动的方法（也就是那些微分方程）。
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loessking的意思也许是指未来的流体力学需要改进为统计力学，以提高精度。现在的流体力学理论用于边界层、湍流不太准确，需要使用新的方法。

2，伯努利是动量方程沿流线的表达。对于不可压流动，又相当于机械能守恒，怎么会有热能呢？高程和静压都是势能。
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loessking的意思也许是指：分子运动是不可能停止的，分子平动运动速度的平方正比于绝对温度，静压就是分子对接触处的碰撞的表现，因此也是分子平动速度的量度，也就是绝对温度的量度，所以静压与热能有关。

3，而举个简单例子，我们看见一杯水，知道靠近杯底部分压强高于杯口，但无论杯底还是杯口，每毫升水的总能量却是相等的。
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杯底压强高于杯顶压强，一般认为是引力的作用。能否从统计力学角度解释杯底压强高于杯顶的现象。或者说，这个现象的微观实质是怎样的呢?

[ 本帖最后由 uesoft 于 2011-8-30 10:15 编辑 ]

tintin_napoleon

我覺得這位仁兄把物質導數想得有些過於復雜了, 物質導數只是一種名稱, 本質就是全微分, 只不過加上些其他條件: 跟隨某個質點的某個物理量的全微分.