扩散方程的C-N格式计算问题

lwd1981

这个满足双曲守恒律的格式，再将重构精度弄高点一般都问题不大吧。

onesupeng

原帖由 lwd1981 于 2014-2-24 03:57 发表

                               
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由于不知道他具体的边界条件，不过对于1为纯扩散或者热传导，只要有就界就可以求出解析解。下面就是一个简单边界条件的解法：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%86%B1%E5%82%B3%E5%B0%8E%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5 ...

两边绝热（x=0,x=1），初始x=0.4~0.6T=1，其他地方=0。求一个给我示意一下吧

lwd1981

说的有界是边界内物理量的分布函数是有界的，不是指边界长度有界。无界的解可以作为有界区域一种启发式分析，能够解释问题的本质，能够回答楼主的问题就可以。
       你要给法，我只是给出了解法。至于边界长度有界是否也可以求解，我没弄过。
如果你非要钻牛角尖，抬扛，那已经偏离了讨论问题的本质，那恕不奉陪！

onesupeng

不要急

我是看大家分析得很像模像样的，好像是真的一样。我提个问题，有人去试，自然就会发现我不是乱抬杠

onesupeng

我看还是我说几段吧。我刚刚试了几个格式，结合物理情形我简单的进一步解释一下

首先，负的扩散系数还是有一定物理含义，某些时候是物理真实存在的。但一般不会是常数，比如是某个和温度或者潜热等相关的函数，因而它和别的量相互有耦合或者制约，导致标量如温度分布在合理的范围内变动。典型的一个例子，Spinodal Decomposition 应该有相关论述。

其次，楼主的振荡，既是数值的结果，也是物理过程（假如真实存在）的必然结果。比如初始为T=H(x)的阶跃函数，那么，在t=dt时x=-\epsi的能量（温度）会传到x=\epsi处，即无论你dt如何小，总能找到恰当的\epsi来近似这样的过程。于是你会发现，T(-\epsi)<T(-2\epsi)，T(-\epsi)<T(0+)，于是T(-\epsi)的温度向两边扩散，下一个时刻，T(-2\epsi)>T(-3\epsi)，如此往复，无论你是什么样的dt，都会有这种锯齿形波动。反过来在间断另一侧也可类比。所以，那些夸夸其谈的格式，都是扯淡的。我相信也许有办法，但是现行CFD里面流行的格式，我觉得是不可能解决这个问题的。

最后，其实一般情况下这个方程是没有解的，因此求解特征值方程不可能得到想要的东西。关于特征函数和特征值，感兴趣的可以温习一下数理方程。仅仅在非常非常特殊的初边值条件下，可能有解~

[ 本帖最后由 onesupeng 于 2014-2-24 09:11 编辑 ]

onesupeng

我在想分维、分形、分数导数这种东西，会不会对分析这个问题有点帮助

lwd1981

"那些夸夸其谈的格式，都是扯淡的。我相信也许有办法，但是现行CFD里面流行的格式，我觉得是不可能解决这个问题的。"
     您可以哪些是夸夸其谈的格式。哪些是扯淡么？我前面的分析，如果有错误或者问题，到敬请您指出，我也学习一下。谢谢。
      另外恕我孤陋寡闻，不知道这个问题为啥牵涉到分形，分维等问题上去。

[ 本帖最后由 lwd1981 于 2014-2-24 09:21 编辑 ]

onesupeng

20楼故事情节纯属虚构，如有雷同，纯属巧合。

onesupeng

原帖由 lwd1981 于 2014-2-24 09:19 发表

                               
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另外恕我孤陋寡闻，不知道这个问题为啥牵涉到分形，分维等问题上去。

只回应你这句话。我作为具有独立思维的人，对数理略知皮毛，想一想，发个疑问应该是合情合理的，我也没有说他们有关系，但你能证明他们没有关系么？

lwd1981

原帖由 onesupeng 于 2014-2-24 09:32 发表

                               
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只回应你这句话。我作为具有独立思维的人，对数理略知皮毛，想一想，发个疑问应该是合情合理的，我也没有说他们有关系，但你能证明他们没有关系么？

我想你误会我的意思了，可能是语气不对，见谅。其实，我对你所谈到的分形很感兴趣，我只是好奇怎么样把二者关联起来。
  
还有就是您指出数值格式扯淡，也愿闻其详。另外如您所言“现代CFD解决不了”，我也很感兴趣，因为这可以作为一个新的研究方向。

[ 本帖最后由 lwd1981 于 2014-2-24 10:39 编辑 ]

onesupeng

原帖由 lwd1981 于 2014-2-24 10:31 发表

                               
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另外如您所言“现代CFD解决不了”

我的原话“我相信也许有办法，但是现行CFD里面流行的格式，我觉得是不可能解决这个问题的”

所以不能曲解我的原话以至于大家觉得我太张狂。现代CFD可能有办法，但是我不知道，也没有找到，所以我做这样的陈述，从逻辑上应该也算比较严谨。至于是不是一个课题，每个人都有自己的见解。刚开始我也觉得可以解析求解，可以找个简单格式，我试了，查了，能力有限，我既不能通过分析特征值来研究其特性，也不能找到恰当的格式来数值计算。居于此，我分析这个物理过程（假如真实存在）为什么会在求解时出现问题。

我相信你提出什么分析，什么计算，是居于你求解正常方程得出的结论，而你没有自己试过。我问14楼问题的原因，正是因为根据相关知识，一般情况没有非平凡特征函数的原因，并不是无的放矢或者故意抬杠。当然有高手能够写出来，我可以学习一下也是好事情~

lwd1981

看来，还是你搞的理论太高深了吧，我看不懂你的分析和解释。

在我能理解的范围内，一个扩散方程的数值离散的色散，耗散特性还不至于利用修正方程或者能量法，傅立叶分析等手段分析不出来。也感觉不出来这个方程在数学上特殊在哪里。

onesupeng

做一个呗，哈哈

hxl166417

首先感谢onesupeng和 lwd1981对这个问题的回答。
       两位都是乐于帮助晚生的老师，两位老师的回答都相当精彩，请二位老师冷静对待，大家都针对的是这个问题和解决问题的办法。
      我求出的解析解不是按照矩形波的初始条件求出的，是做了变化，为了看一下最终的结果是不是无穷大。

       我这两天也针对这个情况尝试了一些改进的C-N格式，问题依然存在，看样子，是不是只有添加适当的人工粘性项才能解决计算振荡的问题？还有，粘性项该如何添加呢？目前还没有找到资料。

onesupeng

我再来做一点补充吧。对于特征值求解，虽然衰减的模态没有，但是增长的模态还是有的。反过来对于实际问题，一般是正余弦等函数的叠加，因此，所有高频模态都是增长的模态。

我举一个例子，比如在x=0~1之间，T(x,0)=x^2*(1-x)^2*16（这样取的目的保证光滑连续），两端绝热的例子。这个解为:
T=\sum_n A_n Cos(n*\pi x) exp(n^2\pi^2 t)
其中A_0=8/15; n>0时A_n=-384*[1+(-1)^n]/(n^4\pi^4)
所以我们看出，每个末态的增长率差异非常大，可以预测，在非常小的时间内，解即有很大的波动。而且，包含的项越多（应该视为越精确，因为级数是一致收敛的），越容易发散（也即高阶项增长很快）。下图是取到10阶，t=0.004时的情况，为方便比较，初始分布也给出。

[ 本帖最后由 onesupeng 于 2014-2-25 00:58 编辑 ]