一个可积的微分方程

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一个可积的微分方程
S′系以速度u相对以S系沿X轴正方向运动，在t′ = t = 0 时刻两坐标系的原点O，O′ 重合。这时从共同的原点发出一光信号。经一段时间后，S′的原点到达图（20-5）所示位置，光信号的波阵面沿X轴的方向到达P点。自S系和S′系分别观察到P点的坐标各为[1]
x = ct，y = 0，z = 0 （自S系观察）     （1）
x′ = c t′ ，y ′= 0，z′ = 0 （自S′系观察）（2）
为了总光速能在坐标系中表达，我们把式（1），式（2）中的x和x′ 表示为
       x = ct                           （3）
       x′ = ct′                       （4）
从坐标图直观上看，并考虑到式（4），我们能把x表示为
  x = ut + x′ = ut + c t′ =（u + c t′/t）t = ct  （5）
式中
u —— 坐标运动速度
由式（5）得到
c = u + c t′/t = u +c*                     （6）
式中
    c*= c t′/t（等量替换公理）             (7)
式（6），就是总光速在坐标系中的一种表达式。在式（6）两边求平方有
        c^2 = u^2 + 2 c* u + c* ^2 = u^2 + c′^2     (8)
式中
c′ = c(1- u^2/ c^2)^1/2                   (9)                    
c′^2 =  2 c* u + c* ^2 =  2c c* - c* ^2       (10)
有了c*，c′，式（3）可改成
           ∆x = c∆t = c*∆t* = c′ ∆t′ =常数     （11）
式中
c* —— 在固有时间条件下的相对光速
c′ —— 导出光速（相对光速）
由式（9）,式（11）可得到时间相对性公式
          ∆t′ = ∆t /(1- u^2/ c^2)^1/2           （12）
式（8）是总光速在坐标系中的又一种表达式。
由式（6）,式（11）可得到另一种时间相对性公式
∆t* = ∆t /(1- u/ c)                （13）
∆t′用式（13）形式表示有
∆t′ = ∆t /(1- u׳/ c)                （14）
式中
u׳ = c – c(1- u^2/ c^2)^1/2                （15）
u׳  ——导出坐标运动速度[3]  
由于相对光速的存在，光速不变原理，显得不合时宜。由式（7）有
          c*∆t+ t∆c*= c∆ t′                   （16）
由式（6）有
           c* = c – u                        （17）
把式（12）,式（17）代入式（16）有
∆u/∆t = （c-u-c/(1- u^2/ c^2)^1/2））/t      （18）
式（18）是一个可积的微分方程。

参考文献
[1] 程守洙，江之永编，王志符，朱泳春等修订，普通物理学（3），高等教育出版社，1982。
[2] 廖铭声，流体不变论，上海科学技术文献出版社，1993.
[3] 廖铭声, 相对声速与多普勒效应，广西物理，2000（3）。