非均匀流体连续性方程的疑问

zlhhhu

很菜的一个问题，可我就是没想明白：

连续性方程的一般形式：d(rou)/dt+div(rou*u)=0
不压缩时简化为：div(u)=0
对可压缩问题（等温），引入d(rou)/dt=1/c/c*d(p)/dt，连续性方程的一般形式转化为：
1/c/c*d(p)/dt=div(rou*u)
而当c无穷大时，即流体不可压缩，此时连续性方程变为：
div(rou*u)=0
与通常的不可压缩连续性方程div(u)=0相比较：
div(rou*u)=rou*div(u)+u.grad(rou)
在均匀流体的情况下，rou在空间分布是常量，grad(rou)=0，没有什么问题；
而当流体为非均匀时，grad(rou)/=0，则前后矛盾了。
问题出在什么地方呢？请指教，谢谢！

lupp

你第一个式子就写错了

zlhhhu

请教第一个式子哪个地方错了呢？需要说明一下，因为在这个面不好写公式，d(rou)/dt，实际上是代表偏导。

xrs333

单相不可压缩流体密度是常数，你又说它是非均匀的。自相矛盾！悖论！

另外，没有“非均匀流体”的概念。

如果是多相流，连续性方程要改写。

[ 本帖最后由 xrs333 于 2009-9-3 12:03 编辑 ]

onesupeng

我来推给你看吧
\partial \rho/\partial t+div(\rho u)=d\rho/dt+\rho div(u)=0
不可压div(u)=0->d\rho/dt=0
后面自己想

zlhhhu

to:xrs333
您好！
请教几个问题：
1、您的意思是非均匀不可压缩流体密度就不是常数吗？也就是D(rou)/Dt=0此时不满足？（D代表物质导数）
2、可能是表达不够准确吧，不过我还是能查到关于“非均匀流体”这一关键字的文章
3、请教多相流的连续性方程应该如何改写呢？

tonesupeng：

这个式子我似乎也能写出来，只是你说的后面自己想，我想不出来。可能您认为太显然了，可我就是不明白，呵呵。就象以前在数学书上看到的证明：显然。。。，一个显然，往往会让我想很长时间呢。

最后，衷心感谢几位的回复。只是讨论，没有争论。谢谢！

xrs333

常数就是任何时间、任何地点都是不变的、相同的值。

zlhhhu

常数就是任何时间、任何地点都是不变的、相同的值。
-----------------------------------------------------
再次请教，这是否意味着rou为常数时，D(rou)/Dt=0？（D代表物质导数）
如此一来，也就是只有均匀、不可压缩的情况，才满足D(rou)/Dt=0?

[ 本帖最后由 zlhhhu 于 2009-9-3 12:31 编辑 ]

lupp

tonesupeng：
这个式子我似乎也能写出来，只是你说的后面自己想，我想不出来。可能您认为太显然了，可我就是不明白，呵呵。就象以前在数学书上看到的证明：显然。。。，一个显然，往往会让我想很长时间呢。

最后，衷心感谢几位的回复。只是讨论，没有争论。谢谢！

这个，人家提示你，物质导数和当地导数分清楚，就不会出现你的div(\rho u)=0的结论，而是\rho div(u)=0，你那语气，，，

zlhhhu

我没有别的意思，只是开个玩笑，可能我表达不当，不过，谢谢批评，虚心接受。

其实我之所以出现div(rou*u)=0的结论倒不是物质导数和当地导数没分清楚。在上面的帖子中，我说明了一下，由于在这上面写公式不好写，就用d代表偏导，而D代表物质导数。

div(rou*u)=0的结论实际上是将可压缩连续性方程中的波速c取为无穷大得出的。但我不知道这样理解为什么会错。因当波速无限大时，就是不可压缩。

liuchen

音速c是压强对密度的导数，因此c为无穷大时，一般都是认为密度不变，也就是不可压情形。对于不可压情形的所谓非均匀流，我也倾向于xrs333的意见，是否应该考虑为多相流。

lupp

原帖由 zlhhhu 于 2009-9-3 20:28 发表

                               
登录/注册后可看大图

常数就是任何时间、任何地点都是不变的、相同的值。
-----------------------------------------------------
再次请教，这是否意味着rou为常数时，D(rou)/Dt=0？（D代表物质导数）
如此一来，也就是只有均匀、不 ...

人家说，你偏要挣。

D(rou)/Dt=0并不是\rho=const，而是质点在运动过程中不变，即\partial \rho/partial t+u\cdot\nabla \rho不变，物质导数，物质导数！


一开始你引入的时候，也应该是全微分而不是偏微分
d(rou)/dt=1/c/c*d(p)/dt 就这个东西
为什么你觉得就是偏微分并认为大家错了呢。这么明显的差别，假如有错的话很容易从实验和数值模拟里面察觉的

zlhhhu

首先说明一下，我从来没有认为自己是对的而大家是错的。我一开始就知道肯定是自己哪个地方错了，只是不知道究竟错在什么地方。也并不是非要争，而是把我自己的想法说出来，请大家指教哪个地方错了。我发这个帖子的目的也是请教各位指出我的错误所在。

此外，d(rou)/dt=1/c/c*d(p)/dt ，你认为应是D(rou)/dt=1/c/c*D(p)/dt ?可是我查了几本书上，都写的是偏微分，而不是全微分。比如：
O.C. ZIENKIEWICZ, R.L. TAYLOR, P.NITHIARASU. The finite element method for fluid dynamics, six edition， Elsevier, 2005.，第79页，式3.1。

JIE WU，Compressible and incompressible flow problems--a new finite element algorithm and adaptivity,University College of Swansea,1992,，第二章第9页，式2.32

我也怀疑过是不是写法上错了，可连续性方程既然可以写成为：1/c/c*d(p)/dt=div(rou*u)，就说明不是全微分吧？注意我这里的写法，还是D代表物质导数，d代表偏导。

总之吧，也许是因为我比较笨，对这个问题，我还是没有明白。

onesupeng

这样吧，你返回到声波的推导上去，实际上很多推导这个关系的时候采用小扰动的方式推出来的，于是对流项这样的量认为是高阶小量而忽略了，实际上还是物质导数，只不过忽略了对流项看起来是当地导数，进而导致反过来理解的时候有些不自洽的地方，但你回到起点观察整个过程的时候大概就理解了。

onesupeng

补充点题外话：
    流体力学里面的不可压，和物理上其他不可压不是一个概念。流体的不可压，指的是流体密度变化对流动影响可忽略的情形，而不是所谓的声速无穷